Đến nội dung

Hình ảnh

Xác định tọa độ sân bay để 1 buổi lấy hàng là tiết kiệm nhiên liệu nhất.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
youknower

youknower

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Trên $1$ bản đồ quy hoạch của 1 Thành phố sắp thi công với hệ tọa độ $O(x,y)$. Giả sử các công trình được coi như 1 điểm trên bản đồ. Trung tâm thành phố ở tâm tọa độ $(0;0)$; . Qui ước $10 km$ thực tế = $1$ đvdd

Biết rằng đã có sẵn 3 kho hàng hóa đã được xây dựng sẵn ở tọa độ $A(0;5), B(5;0), C(-5;0)$. Nhà nước cần xây dựng 1 Sân bay cách trung tâm $50 km$ để vận chuyển hàng hóa từ 3 kho kia; mỗi lần lấy hàng xe lấy hàng ở tất cả 3 kho. Số lượng hàng hóa mỗi kho coi như bằng nhau, và mỗi lần xe chỉ có thể lấy 1 kho và phải chở về sân bay rồi đi lấy ở kho khác, xem như lúc xe chạy không tải và chở hàng tốn nhiên liệu như nhau

Xác định tọa độ sân bay để 1 buổi lấy hàng là tiết kiệm nhiên liệu nhất.

a. Giả sử đường đi từ các địa điểm tới nhau là đường thẳng

b. Giả sử đường đi đã có sẵn, trên bảng đồ là các đường thẳng $x=a; y=b$ với a và b nguyên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youknower: 02-08-2021 - 17:37


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Nếu gọi $d(X,Y)$ biểu thị khoảng cách theo một quy tắc cho trước thì bài toán quy về:

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, và đường tròn $(O)$ đường kính $BC$. Tìm $M$ trên $(O)$ sao cho $S(M) = d(M,A)+d(M,B)+d(M,C)$ nhỏ nhất.

Câu a thì $d(X,Y)=XY$: khoảng cách Euclide phẳng thông dụng, câu b thì $d(X,Y)=|x_X - x_Y| + |y_X - y_Y|$: khoảng cách Manhattan. Chú ý là $d(X,Y)$ luôn thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

Cả hai câu đều có hướng chứng minh giống nhau, chỉ khác về phần so sánh các khoảng cách cụ thể, nên mình sẽ trình bày chung.

 

Đầu tiên, ta chứng minh rằng để $S(M)$ nhỏ nhất thì $M$ phải nằm trên cung $BC$ chứa $A$. (1)

Thật vậy, nếu $M$ nằm ở cung $BC$ không chứa $A$ thì lấy $M'$ đối xứng $M$ qua $BC$.

Dễ thấy $M'$ cũng thuộc $(O)$. Và $d(M,B)=d(M',B); d(M,C)=d(M',C)$.

Vẽ $MA$ cắt $BC$ tại $N$ thì $d(M,A)=d(M,N) + d(N, A) = d(M',N)+d(N,A)>d(M',A)$.

Do đó $S(M) > S(M')$, tức là (1) đúng.

Tiếp theo, ta chứng minh $S(M)$ nhỏ nhất thì $M \equiv A$. (2) Không mất tính tổng quát, giả sử $M$ thuộc cung $AB$ không chứa $C$.

Ta có $d(M,A)+d(M,B) \ge d(A,B)$. Dấu "=" xảy ra khi $M$ trùng $A$ hoặc $B$.

Ta chỉ cần phải chứng minh $d(M,C) \ge d(A,C)$. Điều này lại phụ thuộc vào từng định nghĩa của $d(\bullet, \bullet)$.

TH1: Nếu $d$ là khoảng cách Euclide phẳng. Chú ý rằng $\angle MOC \ge \angle AOC \Rightarrow d(M,C)=MC \ge AC = d(A,C)$

TH2: Nếu $d$ là khoảng cách Manhattan. Hạ $MH \perp BC$ tại $H$, thì $O$ nằm giữa $M,C$, và $d(M,C)=MH+HC=MH+HO+OC\ge MO + OC=2R=d(A,C)$.

Rốt cuộc thì $d(M,C)$ luôn không nhỏ hơn $d(A,C)$. Vì vậy $S(M) \ge S(A)$. Dấu "=" xảy ra khi $M \equiv A$.

 

Câu hỏi mở rộng: Kết quả bài toán còn đúng không nếu sử dụng định nghĩa mở rộng của $d$?

https://en.wikipedia.org/wiki/Distance


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh