Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh tồn tại hai phần tử $x,y$ thuộc cùng một tập hợp A hoặc B sao cho $|x-y| \in {a;b}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

Cho 2 số nguyên dương $a,b$ sao cho $a+b$ là một số lẻ. Gọi $A,B$ là các tập hợp thỏa $A \cup B = N^*$ và $A \cap B = \varnothing$. Chứng minh tồn tại hai phần tử $x,y$ thuộc cùng một tập hợp A hoặc B sao cho $|x-y| \in$ {a;b}

- Cho em hỏi bài này với ạ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 03-08-2021 - 16:38

Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#2
poset

poset

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 125 Bài viết

Cho 2 số nguyên dương $a,b$ sao cho $a+b$ là một số lẻ. Gọi $A,B$ là các tập hợp thỏa $A \cup B = N^*$ và $A \cap B = \varnothing$. Chứng minh tồn tại hai phần tử $x,y$ thuộc cùng một tập hợp A hoặc B sao cho $|x-y| \in$ {a;b}

- Cho em hỏi bài này với ạ 

Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử không tồn tại $x,y$ như vậy. Ta đặt $a+b=n$ là số lẻ, ký hiệu $M+m= \left \{ x+m|x\in M \right \}$
Xét tập $A+a$, giả sử $x\in A+a\cap A\neq \varnothing \Rightarrow\exists y,y+a=x$, vô lý với điều giả sử. Vậy $A+a\cap A= \varnothing \Rightarrow A+a\subset B$

Tương tự ta có $B+b\subset A\Rightarrow A+n=A+a+b\subset B+b\subset A$, $B+n\subset B$.
Giờ đặt ${A}'=A\cap \left \{1;...;n \right \}; {B}'=B\cap \left \{ 1;...;n \right \}$.
Coi ${A}',{B}'$ là tập con của hệ thặng dư module $n$ (tập $M_n$) thì ta có ${A}'\cap {B}'=\varnothing ,{A}'\cup {B}'=M_n\Rightarrow \left | {A}' \right |+\left | {B}' \right |=\left | M_n \right |=n$ (do giả thiết đề bài và định nghĩa hai tập). Giả sử tồn tại $x,y\in {A}'$ sao cho $x-y\equiv a (mod \ n)$ thì giờ coi $x,y$ là hai số tự nhiên nằm trong tập ${1;...;n}$, ta có $x> y\Rightarrow x-y=a, x<y \Rightarrow y-x=b$, mâu thuẫn với giả sử. Tương tự với tập ${B}'$.
Giờ làm tương tự như đầu bài, ta có: ${A}'+a\subset B\Rightarrow \left | {A}' \right |=\left | {A}'+a \right|\leq \left | {B}' \right |$, tương tự $\left | {B}' \right |\leq \left | {A}' \right |\Rightarrow \left | {A}' \right |=\left | {B}' \right |\Rightarrow n=\left | {A}' \right |+\left | {B}' \right |=2\left | {A}' \right |$ vô lý vì $n$ là số lẻ.
Vậy giả thiết phản chứng là sai, ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 03-08-2021 - 17:18


#3
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Cho 2 số nguyên dương $a,b$ sao cho $a+b$ là một số lẻ. Gọi $A,B$ là các tập hợp thỏa $A \cup B = N^*$ và $A \cap B = \varnothing$. Chứng minh tồn tại hai phần tử $x,y$ thuộc cùng một tập hợp A hoặc B sao cho $|x-y| \in$ {a;b}

- Cho em hỏi bài này với ạ 

Xét hai trường hợp

Trường hợp 1: $a,b$ thuộc hai tập khác nhau

Xét số $a+b$, ta thấy ngay đpcm.

Trường hợp 2: $a,b$ cùng thuộc một tập hợp, giả sử là $A$.

Nếu $A$ chỉ có $a$ và $b$ thì điều phải chứng minh là hiển nhiên.

Trong trường hợp $A$ có thêm phần tử $x$, giả sử phản chứng rằng không có 2 số thỏa đề.

Khi ấy ta thấy rằng $x+ka$ thuộc $A$ với mọi $k$ chẵn và thuộc $B$ với mọi $k$ lẻ.

Tương tự, $x+lb$ thuộc $A$ với mọi $l$ chẵn và thuộc $B$ với mọi $l$ lẻ.

Bây giờ, xét số $x+ab$. Từ những điều trên ta có $x+ab$ vừa thuộc $A$ vừa thuộc $B$, mâu thuẫn với giả thiết.

Vậy trong mọi trường hợp ta buộc phải có hai số thỏa đề. $\square$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh