Cho 2 số nguyên dương $a,b$ sao cho $a+b$ là một số lẻ. Gọi $A,B$ là các tập hợp thỏa $A \cup B = N^*$ và $A \cap B = \varnothing$. Chứng minh tồn tại hai phần tử $x,y$ thuộc cùng một tập hợp A hoặc B sao cho $|x-y| \in$ {a;b}
- Cho em hỏi bài này với ạ
Xét hai trường hợp
Trường hợp 1: $a,b$ thuộc hai tập khác nhau
Xét số $a+b$, ta thấy ngay đpcm.
Trường hợp 2: $a,b$ cùng thuộc một tập hợp, giả sử là $A$.
Nếu $A$ chỉ có $a$ và $b$ thì điều phải chứng minh là hiển nhiên.
Trong trường hợp $A$ có thêm phần tử $x$, giả sử phản chứng rằng không có 2 số thỏa đề.
Khi ấy ta thấy rằng $x+ka$ thuộc $A$ với mọi $k$ chẵn và thuộc $B$ với mọi $k$ lẻ.
Tương tự, $x+lb$ thuộc $A$ với mọi $l$ chẵn và thuộc $B$ với mọi $l$ lẻ.
Bây giờ, xét số $x+ab$. Từ những điều trên ta có $x+ab$ vừa thuộc $A$ vừa thuộc $B$, mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy trong mọi trường hợp ta buộc phải có hai số thỏa đề. $\square$