Cho $f(x)=ax^2+bx+c$ với a,b,c nguyên,a khác 0.Biết $f(0);f(1)$ là số lẻ.Chứng minh pt $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên
Đã gửi 04-08-2021 - 19:40
Cho $f(x)=ax^2+bx+c$ với a,b,c nguyên,a khác 0.Biết $f(0);f(1)$ là số lẻ.Chứng minh pt $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên
Đã gửi 08-08-2021 - 20:24
Nếu $f(x)$ ko có nghiệm thì hiển nhiên ta có đpcm. Nếu $f(x)$ có nghiệm thì hiển nhiên phải có $2$ nghiệm, giả sử $x_{0}$ là nghiệm nguyên
Từ gt ta có: $f(0)=c$ lẻ; $f(1)=a+b+c$ lẻ $\Rightarrow a+b$ chẵn $\Rightarrow a,b$ cùng tính chẵn, lẻ
Viết lại $f(x)=\left(x-x_{0}\right)\left(ax-k\right)=ax^{2}-\left(ax_{0}+k\right)x+x_{0}k$ $(k\in \mathbb{Z})$
Đồng nhất hệ số: $x_{0}+k=c$ lẻ $\Rightarrow x_{0}$ và $k$ đều lẻ; $ax_{0}+k=-b$
Nếu $a$ lẻ $\Rightarrow b$ lẻ $\Rightarrow ax_{0}+k$ chẵn dẫn đến đẳng thức trên vô lý. Tương tự nếu $a$ chẵn. Từ đó ta có đpcm
Đã gửi 04-10-2021 - 09:22
tổng quát cho đa thức p(x) hệ số nguyên bất kỳ cũng được
giả sử p(x) có nghiệm thì p(x)=(x-a)Q(x) khi đó p(1)=(1-a)q(1) và p(0)=-aq(a) đều là các số lẻ nên 1-a và -a đều là các số lẻ nhưng tổng của chúng lại là một số lẻ -> vô lý. vậy p(x) không có nghiệm nguyên
Cannot connect to Ginger Check your internet connection
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Đa thức →
Các bài toán và vấn đề về Đa thức →
Tìm (m,n) s/c vs mọi đa thức f(x) bậc m, tồn tại đa thức g(x) bậc n để $g(f(x))\vdots g(x)$Bắt đầu bởi Explorer, Hôm nay, 09:46 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$2x^{2}-xy=2x^{2}+y^{2}$Bắt đầu bởi thanhng2k7, 22-02-2022 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
giải phương trình $x^{4}-1=3y^{2}$ với x,y nguyên dươngBắt đầu bởi Explorer, 14-02-2022 ![]() |
|
![]() |
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Các bài toán và vấn đề về Số học →
[TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyênBắt đầu bởi narutosasukevjppro, 04-10-2021 ![]() |
|
![]() |
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Các bài toán và vấn đề về Số học →
$x^{4}+y^{4}=5x^{2}y^{2}$Bắt đầu bởi Ho Thi Thanh Truc, 20-07-2021 ![]() |
|
![]() |
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh