Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$f(x)=0$ không có nghiệm nguyên

đa thức phương trình nghiệm nguyên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 tinhyeutoanhoc2k7

tinhyeutoanhoc2k7

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Đã gửi 04-08-2021 - 19:40

Cho $f(x)=ax^2+bx+c$ với a,b,c nguyên,a khác 0.Biết $f(0);f(1)$ là số lẻ.Chứng minh pt $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên

 



#2 Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Geometry, Inequality, Light Novel, Convert

Đã gửi 08-08-2021 - 20:24

Nếu $f(x)$ ko có nghiệm thì hiển nhiên ta có đpcm. Nếu $f(x)$ có nghiệm thì hiển nhiên phải có $2$ nghiệm, giả sử $x_{0}$ là nghiệm nguyên

Từ gt ta có: $f(0)=c$ lẻ; $f(1)=a+b+c$ lẻ $\Rightarrow a+b$ chẵn $\Rightarrow a,b$ cùng tính chẵn, lẻ

Viết lại $f(x)=\left(x-x_{0}\right)\left(ax-k\right)=ax^{2}-\left(ax_{0}+k\right)x+x_{0}k$  $(k\in \mathbb{Z})$

Đồng nhất hệ số: $x_{0}+k=c$ lẻ $\Rightarrow x_{0}$ và $k$ đều lẻ; $ax_{0}+k=-b$

Nếu $a$ lẻ $\Rightarrow b$ lẻ $\Rightarrow ax_{0}+k$ chẵn dẫn đến đẳng thức trên vô lý. Tương tự nếu $a$ chẵn. Từ đó ta có đpcm

 



#3 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 04-10-2021 - 09:22

tổng quát cho đa thức p(x) hệ số nguyên bất kỳ cũng được

giả sử p(x) có nghiệm thì p(x)=(x-a)Q(x) khi đó p(1)=(1-a)q(1) và p(0)=-aq(a) đều là các số lẻ nên 1-a và -a đều là các số lẻ nhưng tổng của chúng lại là một số lẻ -> vô lý. vậy p(x) không có nghiệm nguyên

Cannot connect to Ginger Check your internet connection
or reload the browserDisable in this text fieldRephraseRephrase current sentenceLog in to edit with Ginger×





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh