Cho $f(x)=ax^2+bx+c$ với a,b,c nguyên,a khác 0.Biết $f(0);f(1)$ là số lẻ.Chứng minh pt $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên
Cho $f(x)=ax^2+bx+c$ với a,b,c nguyên,a khác 0.Biết $f(0);f(1)$ là số lẻ.Chứng minh pt $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên
Nếu $f(x)$ ko có nghiệm thì hiển nhiên ta có đpcm. Nếu $f(x)$ có nghiệm thì hiển nhiên phải có $2$ nghiệm, giả sử $x_{0}$ là nghiệm nguyên
Từ gt ta có: $f(0)=c$ lẻ; $f(1)=a+b+c$ lẻ $\Rightarrow a+b$ chẵn $\Rightarrow a,b$ cùng tính chẵn, lẻ
Viết lại $f(x)=\left(x-x_{0}\right)\left(ax-k\right)=ax^{2}-\left(ax_{0}+k\right)x+x_{0}k$ $(k\in \mathbb{Z})$
Đồng nhất hệ số: $x_{0}+k=c$ lẻ $\Rightarrow x_{0}$ và $k$ đều lẻ; $ax_{0}+k=-b$
Nếu $a$ lẻ $\Rightarrow b$ lẻ $\Rightarrow ax_{0}+k$ chẵn dẫn đến đẳng thức trên vô lý. Tương tự nếu $a$ chẵn. Từ đó ta có đpcm
tổng quát cho đa thức p(x) hệ số nguyên bất kỳ cũng được
giả sử p(x) có nghiệm thì p(x)=(x-a)Q(x) khi đó p(1)=(1-a)q(1) và p(0)=-aq(a) đều là các số lẻ nên 1-a và -a đều là các số lẻ nhưng tổng của chúng lại là một số lẻ -> vô lý. vậy p(x) không có nghiệm nguyên
Cannot connect to Ginger Check your internet connection0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh