Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a + b + c =1$ . Chứng minh rằng:
$\sqrt{a + (b - c)^2} + \sqrt{b + (c - a)^2} + \sqrt{c + (a - b)^2} \geq \sqrt{3}$
Không mất tính tổng quát, giả sử $b$ nằm giữa $a,c$.
Áp dụng BĐT Minkowski:
$$VT\geq \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}+4(a-c)^{2}}\geq \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}+2[(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+(a-b)^{2}]}.$$
Ta chỉ cần chứng minh
$$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}+2[(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+(a-b)^{2}]\geq 3,$$
hay $$(a+b+c)(\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+\sqrt{ab})+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+(a-b)^{2}\geq (a+b+c)^{2},$$
tương đương $$a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a+b+c)(\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+\sqrt{ab})\geq 4(bc+ca+ab).$$
Áp dụng BĐT GM-HM $$\sqrt{bc}\geq \frac{2bc}{b+c}.$$
Suy ra $$VT\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a+b+c)\left(\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}+\frac{ab}{a+b}\right)=(a+b+c)^{2}+2abc\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\geq (a+b+c)^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 4(bc+ca+ab).$$
BĐT cuối cùng là BĐT Schur bậc $3$ nên nó đúng. Bài toán kết thúc.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ hoặc $a=0,b=c=\frac{1}{2}$ và các hoán vị tương ứng. $\square$