Đến nội dung

Hình ảnh

Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Hunghcd

Hunghcd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Trong mp cho n điểm,trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các đường thằng nối hai điểm bất kì ko có 2 đường thẳng nào song song,trùng nhau hoặc vuông góc.Qua mỗi điểm vẽ các đg thẳng vuông góc với các đường thẳng xác định bởi 2 trong n-1 điểm còn lại.Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau nhiều nhất là bao nhiêu?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hunghcd: 04-08-2021 - 21:28


#2
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

Trong mp cho n điểm,trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các đường thằng nối hai điểm bất kì ko có 2 đường thẳng nào song song,trùng nhau hoặc vuông góc.Qua mỗi điểm vẽ các đg thẳng vuông góc với các đường thẳng xác định bởi 2 trong n-1 điểm còn lại.Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau nhiều nhất là bao nhiêu?

Giả sử các điểm đã cho là $A_1, A_2,...,A_n$, từ 1 điểm $A_i $ bất kỳ, thí dụ điểm $A_1$ chẳng hạn, ta có $C_{n-1}^{2}$ đường vuông góc với các đường thẳng được tạo bởi  $(n-1)$ điểm còn lại $\Rightarrow C_{nC_{n-1}^{2}}^{2}$ là số giao điểm của các đường vuông góc .
Nhưng thực tế có 1 số giao điểm trùng nhau hoặc không giao nhau mà tựu chung ta phân làm 3 loại:
1/ Trùng nhau tại 1 điểm ( thí dụ tại $A_1$):
Ta đã tính có $C_{C_{n-1}^{2}}^{2}$ giao điểm nhưng thực tế chỉ có 1 giao điểm mà thôi nên ta phải bớt $n(C_{C_{n-1}^{2}}^{2}-1)$ giao điểm.
2/ Ba đường vuông góc song song với nhau  ( thí dụ 3 đường vuông góc từ $A_1, A_2, A_3 $ đến đường $A_4A_5$):
Loại này, thực tế không có giao điểm nào nên ta phải bớt $3C_{n}^{3}$ giao điểm.
3/ Ba điểm tạo thành tam giác :
Chỉ có 1 giao điểm ( trực tâm) nên ta phải bớt $2C_{n}^{3}$ giao điểm.
Vậy số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau nhiều nhất là:
$C_{nC_{n - 1}^2}^2 - \left( {n(C_{C_{n - 1}^2}^2 - 1) + 3C_n^3 + 2C_n^3} \right)$ giao điểm.


===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#3
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Giả sử các điểm đã cho là $A_1, A_2,...,A_n$, từ 1 điểm $A_i $ bất kỳ, thí dụ điểm $A_1$ chẳng hạn, ta có $C_{n-1}^{2}$ đường vuông góc với các đường thẳng được tạo bởi  $(n-1)$ điểm còn lại $\Rightarrow C_{nC_{n-1}^{2}}^{2}$ là số giao điểm của các đường vuông góc .
Nhưng thực tế có 1 số giao điểm trùng nhau hoặc không giao nhau mà tựu chung ta phân làm 3 loại:
1/ Trùng nhau tại 1 điểm ( thí dụ tại $A_1$):
Ta đã tính có $C_{C_{n-1}^{2}}^{2}$ giao điểm nhưng thực tế chỉ có 1 giao điểm mà thôi nên ta phải bớt $n(C_{C_{n-1}^{2}}^{2}-1)$ giao điểm.
2/ Ba đường vuông góc song song với nhau  ( thí dụ 3 đường vuông góc từ $A_1, A_2, A_3 $ đến đường $A_4A_5$):
Loại này, thực tế không có giao điểm nào nên ta phải bớt $3C_{n}^{3}$ giao điểm.
3/ Ba điểm tạo thành tam giác :
Chỉ có 1 giao điểm ( trực tâm) nên ta phải bớt $2C_{n}^{3}$ giao điểm.
Vậy số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau nhiều nhất là:
$C_{nC_{n - 1}^2}^2 - \left( {n(C_{C_{n - 1}^2}^2 - 1) + 3C_n^3 + 2C_n^3} \right)$ giao điểm.

Em cần chỉ ra một cách xây dựng thỏa mãn nữa thì mới có thể kết luận là giá trị lớn nhất.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#4
Hunghcd

Hunghcd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Giả sử các điểm đã cho là $A_1, A_2,...,A_n$, từ 1 điểm $A_i $ bất kỳ, thí dụ điểm $A_1$ chẳng hạn, ta có $C_{n-1}^{2}$ đường vuông góc với các đường thẳng được tạo bởi  $(n-1)$ điểm còn lại $\Rightarrow C_{nC_{n-1}^{2}}^{2}$ là số giao điểm của các đường vuông góc .
Nhưng thực tế có 1 số giao điểm trùng nhau hoặc không giao nhau mà tựu chung ta phân làm 3 loại:
1/ Trùng nhau tại 1 điểm ( thí dụ tại $A_1$):
Ta đã tính có $C_{C_{n-1}^{2}}^{2}$ giao điểm nhưng thực tế chỉ có 1 giao điểm mà thôi nên ta phải bớt $n(C_{C_{n-1}^{2}}^{2}-1)$ giao điểm.
2/ Ba đường vuông góc song song với nhau  ( thí dụ 3 đường vuông góc từ $A_1, A_2, A_3 $ đến đường $A_4A_5$):
Loại này, thực tế không có giao điểm nào nên ta phải bớt $3C_{n}^{3}$ giao điểm.
3/ Ba điểm tạo thành tam giác :
Chỉ có 1 giao điểm ( trực tâm) nên ta phải bớt $2C_{n}^{3}$ giao điểm.
Vậy số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau nhiều nhất là:
$C_{nC_{n-1}^{2}}^{2}-\left\( n(C_{C_{n-1}^{2}}^{2}-1)+ 3C_{n}^{3}+2C_{n}^{3} \right \)$ giao điểm.

tại sao ở trường hợp 2 lại chỉ xét có 3 đường thẳng song song thay vì 4,5,.. ạ?em nghĩ ứng vs mỗi đường thẳng thì phải có n-2 đường thẳng song song nên số giao điểm mất đi phải là $(n-3)C_{n}^{2}$



#5
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
@perfectstrong:Thanks, em sẽ suy nghĩ thêm.
@Hunghcd:Thanks, mình nghĩ là bạn đúng.Tại mình cứ suy nghĩ là tam giác (ảnh hưởng bởi TH 3 !).
Giờ mình xin sửa lại : số giao điểm là :
$$C_{nC_{n-1}^{2}}^{2}-\left( n(C_{C_{n-1}^{2}}^{2}-1)+ (n-2)C_{n}^{2}+  2C_{n}^{3} \right )$$
...như vầy ổn chưa nhỉ!
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#6
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Giả sử các điểm đã cho là $A_1, A_2,...,A_n$, từ 1 điểm $A_i $ bất kỳ, thí dụ điểm $A_1$ chẳng hạn, ta có $C_{n-1}^{2}$ đường vuông góc với các đường thẳng được tạo bởi  $(n-1)$ điểm còn lại $\Rightarrow C_{nC_{n-1}^{2}}^{2}$ là số giao điểm của các đường vuông góc .
Nhưng thực tế có 1 số giao điểm trùng nhau hoặc không giao nhau mà tựu chung ta phân làm 3 loại:
1/ Trùng nhau tại 1 điểm ( thí dụ tại $A_1$):
Ta đã tính có $C_{C_{n-1}^{2}}^{2}$ giao điểm nhưng thực tế chỉ có 1 giao điểm mà thôi nên ta phải bớt $n(C_{C_{n-1}^{2}}^{2}-1)$ giao điểm.
2/ Ba đường vuông góc song song với nhau  ( thí dụ 3 đường vuông góc từ $A_1, A_2, A_3 $ đến đường $A_4A_5$):
Loại này, thực tế không có giao điểm nào nên ta phải bớt $3C_{n}^{3}$ giao điểm.
3/ Ba điểm tạo thành tam giác :
Chỉ có 1 giao điểm ( trực tâm) nên ta phải bớt $2C_{n}^{3}$ giao điểm.
Vậy số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau nhiều nhất là:
$C_{nC_{n - 1}^2}^2 - \left( {n(C_{C_{n - 1}^2}^2 - 1) + 3C_n^3 + 2C_n^3} \right)$ giao điểm.

Ở trường hợp 2, ứng với mỗi đường thẳng $A_iA_j$, có $n-2$ đường thẳng song song với nhau. Nếu chúng cắt nhau, có thể tạo ra tối đa $C_{n-2}^2$ giao điểm. Như vậy thì phải trừ bớt đi $C_{n-2}^2C_n^2$ giao điểm.

Vậy số giao điểm nhiều nhất có thể là :

$C_{nC_{n-1}^2}^2-\left [ n\left ( C_{C_{n-1}^2}^2-1 \right )+C_{n-2}^2C_n^2+2C_n^3 \right ]$

Bây giờ, cần chỉ ra một trường hợp mà số giao điểm bằng kết quả tính theo công thức này.

Ta xét $4$ điểm $A,B,C,D$ ($n=4$). Khi đó tính theo công thức trên thì số giao điểm nhiều nhất là $44$.

Ta ký hiệu đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $BC$ là $a_{BC}$ (các đường khác ký hiệu tương tự).

Cần đếm số giao điểm của $nC_{n-1}^2=12$ đường thẳng sau đây :

$a_{BC},b_{AC},c_{AB}$

$a_{BD},b_{AD},d_{AB}$

$a_{CD},c_{AD},d_{AC}$

$b_{CD},c_{BD},d_{BC}$

Trước hết ta có $4$ giao điểm là $A,B,C,D$

Ngoài ra, mỗi đường thẳng trên cắt thêm $8$ đường thẳng khác (ví dụ $a_{BC}$ cắt $b_{AC},b_{AD},b_{CD},c_{AB},c_{AD},c_{BD},d_{AB},d_{AC}$)

Vậy là có thêm $\frac{12.8}{2}=48$ giao điểm.

Nhưng lưu ý rằng mỗi bộ ba các đường thẳng trong cùng một hàng ở trên thì $3$ giao điểm trùng nhau, nên thực tế chỉ có $48-4(3-1)=40$ giao điểm.

Vậy tất cả là $40+4=44$ giao điểm, đúng theo công thức trên.

 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Nói thêm là công thức $C_{nC_{n-1}^2}^2-\left [ n\left ( C_{C_{n-1}^2}^2-1 \right )+C_{n-2}^2C_n^2+2C_n^3 \right ]$

chỉ đúng với $n\geqslant 4$.

Còn với $n=3$ thì các điểm đã cho không phải là giao điểm nên không có số hạng $n\left ( C_{C_{n-1}^2}^2-1 \right )$ và $C_{3-2}^2C_3^2=0$, do vậy số giao điểm khi đó là $C_{nC_{n-1}^2}^2-2C_n^3=C_{3C_{3-1}^2}^2-2C_3^3=1$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh