Giả sử các điểm đã cho là $A_1, A_2,...,A_n$, từ 1 điểm $A_i $ bất kỳ, thí dụ điểm $A_1$ chẳng hạn, ta có $C_{n-1}^{2}$ đường vuông góc với các đường thẳng được tạo bởi $(n-1)$ điểm còn lại $\Rightarrow C_{nC_{n-1}^{2}}^{2}$ là số giao điểm của các đường vuông góc .
Nhưng thực tế có 1 số giao điểm trùng nhau hoặc không giao nhau mà tựu chung ta phân làm 3 loại:
1/ Trùng nhau tại 1 điểm ( thí dụ tại $A_1$):
Ta đã tính có $C_{C_{n-1}^{2}}^{2}$ giao điểm nhưng thực tế chỉ có 1 giao điểm mà thôi nên ta phải bớt $n(C_{C_{n-1}^{2}}^{2}-1)$ giao điểm.
2/ Ba đường vuông góc song song với nhau ( thí dụ 3 đường vuông góc từ $A_1, A_2, A_3 $ đến đường $A_4A_5$):
Loại này, thực tế không có giao điểm nào nên ta phải bớt $3C_{n}^{3}$ giao điểm.
3/ Ba điểm tạo thành tam giác :
Chỉ có 1 giao điểm ( trực tâm) nên ta phải bớt $2C_{n}^{3}$ giao điểm.
Vậy số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau nhiều nhất là:
$C_{nC_{n - 1}^2}^2 - \left( {n(C_{C_{n - 1}^2}^2 - 1) + 3C_n^3 + 2C_n^3} \right)$ giao điểm.
Ở trường hợp 2, ứng với mỗi đường thẳng $A_iA_j$, có $n-2$ đường thẳng song song với nhau. Nếu chúng cắt nhau, có thể tạo ra tối đa $C_{n-2}^2$ giao điểm. Như vậy thì phải trừ bớt đi $C_{n-2}^2C_n^2$ giao điểm.
Vậy số giao điểm nhiều nhất có thể là :
$C_{nC_{n-1}^2}^2-\left [ n\left ( C_{C_{n-1}^2}^2-1 \right )+C_{n-2}^2C_n^2+2C_n^3 \right ]$
Bây giờ, cần chỉ ra một trường hợp mà số giao điểm bằng kết quả tính theo công thức này.
Ta xét $4$ điểm $A,B,C,D$ ($n=4$). Khi đó tính theo công thức trên thì số giao điểm nhiều nhất là $44$.
Ta ký hiệu đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $BC$ là $a_{BC}$ (các đường khác ký hiệu tương tự).
Cần đếm số giao điểm của $nC_{n-1}^2=12$ đường thẳng sau đây :
$a_{BC},b_{AC},c_{AB}$
$a_{BD},b_{AD},d_{AB}$
$a_{CD},c_{AD},d_{AC}$
$b_{CD},c_{BD},d_{BC}$
Trước hết ta có $4$ giao điểm là $A,B,C,D$
Ngoài ra, mỗi đường thẳng trên cắt thêm $8$ đường thẳng khác (ví dụ $a_{BC}$ cắt $b_{AC},b_{AD},b_{CD},c_{AB},c_{AD},c_{BD},d_{AB},d_{AC}$)
Vậy là có thêm $\frac{12.8}{2}=48$ giao điểm.
Nhưng lưu ý rằng mỗi bộ ba các đường thẳng trong cùng một hàng ở trên thì $3$ giao điểm trùng nhau, nên thực tế chỉ có $48-4(3-1)=40$ giao điểm.
Vậy tất cả là $40+4=44$ giao điểm, đúng theo công thức trên.