Chủ đề này có 7 trả lời

[youknower]

Cho tam giác $ABC$ có $D$ là điểm đi động trên $(ABC)$ khác $3$ đỉnh. Lấy $E, F$ trên $(ABC)$ và $M$ sao cho $BE = BD =BM; CF=CD = CM.$

Chứng minh trung điểm $I$ của $EF$ thuộc $1$ đường cố định và $MI$ đi qua điểm cố định 

[youknower]

Gợi ý: Chứng minh $EF$ không đổi và $MI$ đi qua điểm cố định trên trung trực $BC$

[youknower]

Gợi ý 2: MI luôn đi qua giao điểm 2 tiếp tuyến tại B, C của (MBC) cố định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youknower: 10-08-2021 - 20:20

[Serine]

xin giải câu dễ hoi ạ 

 

$M'$ là giao $BF, CE$

$\widehat{EM'B}=\widehat{M'BC}+\widehat{M'CB}$

$\widehat{CEB}=1/2($cung $BD+$cung$CD)=1/2($cung$BE+$ cung$CF)=\widehat{M'CB}+\widehat{M'BC}$

$\Rightarrow BE=BM'$ tương tự $CM'=CF$ nên $M=M'$

Có $\widehat{EBM}=180-2\widehat{EMB}=180-2(180-\widehat{BMC})=-180+2\widehat{BDC}$ không đổi

$\Rightarrow EF$ không đổi

$\Rightarrow d(O/EF)$ không đổi $\Rightarrow$ trung điểm $I$ của $EF$ thuộc đường cố định

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 10-08-2021 - 20:04

[youknower]

Chứng minh ý b thì ta dùng bài toán sau:

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ và 2 đường cao $BE, CF$. Gọi $M$ là trực tâm tam giác $AEF$ thì $HM$ là đường đối trung của tam giác $HBC$

[Serine]

Tiếp tuyến tại $B, C$ của $(BMC)$ giao tại $T$

Đt qua $T // EF$ cắt $EC, BF$ tại $J, K$

Có $\widehat{TJC}=\widehat{FEC}=\widehat{FBC}=\widehat{JCT}$

$\Rightarrow TJ=TC$

Tương tự $TB=TK$

Mà $\widehat{TBC}=\widehat{TBM}+\widehat{MBC}=\widehat{MCB}+\widehat{MCT}=\widehat{TCB} \Rightarrow TB=TC$

Vậy $T$ là trung điểm $JK$

Theo bổ đề hình thang $\Rightarrow \overline{T,I,M}$

 

Hóng lời giải từ bài toán phụ của anh @youknower ạ

Hình gửi kèm

• 

[youknower]

Tiếp tuyến tại $B, C$ của $(BMC)$ giao tại $T$

Đt qua $T // EF$ cắt $EC, BF$ tại $J, K$

Có $\widehat{TJC}=\widehat{FEC}=\widehat{FBC}=\widehat{JCT}$

$\Rightarrow TJ=TC$

Tương tự $TB=TK$

Mà $\widehat{TBC}=\widehat{TBM}+\widehat{MBC}=\widehat{MCB}+\widehat{MCT}=\widehat{TCB} \Rightarrow TB=TC$

Vậy $T$ là trung điểm $JK$

Theo bổ đề hình thang $\Rightarrow \overline{T,I,M}$

 

Hóng lời giải từ bài toán phụ của anh @youknower ạ

Cách giải của em hay đó

 

 

Lấy $T$ là trực tâm tam giác $MBC$ thì $T$ thuộc $(ABC)$ , khi đó $M$ cũng là trực tâm tam giác $TBC. X, Y$ là chân đường cao từ $B, C$ của $TBC$. Suy ra $TO$ vuông góc $XY$

Suy ra $XY$ là đường trung bình tam giác $MEF$ nên $XY//EF$ nên $TO$ vuông góc $EF$ tại trung điểm $I$ của $EF$ hay $MI$ là trung tuyến của tam giác $MXY (I$ cũng là trực tâm tam giác $TXY$ - có thể chứng minh)

Từ đó suy ra $MI$ là đường đối trung tam giác $MBC$ và có dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youknower: 10-08-2021 - 21:53

[youknower]

Bài toán chỉ cần sử dụng kết quả sau là ra câu b nhanh hơn

Cho 4 điểm đồng viên $A,B,C,D$ có  $AC$ cắt $BD$ tại $M$. Khi đó trung tuyến qua $M$ của tam giác $MAB$ là đường đối trung của tam giác $MCD$