Cho tam giác $ABC$ có $D$ là điểm đi động trên $(ABC)$ khác $3$ đỉnh. Lấy $E, F$ trên $(ABC)$ và $M$ sao cho $BE = BD =BM; CF=CD = CM.$
Chứng minh trung điểm $I$ của $EF$ thuộc $1$ đường cố định và $MI$ đi qua điểm cố định
xin giải câu dễ hoi ạ
$M'$ là giao $BF, CE$
$\widehat{EM'B}=\widehat{M'BC}+\widehat{M'CB}$
$\widehat{CEB}=1/2($cung $BD+$cung$CD)=1/2($cung$BE+$ cung$CF)=\widehat{M'CB}+\widehat{M'BC}$
$\Rightarrow BE=BM'$ tương tự $CM'=CF$ nên $M=M'$
Có $\widehat{EBM}=180-2\widehat{EMB}=180-2(180-\widehat{BMC})=-180+2\widehat{BDC}$ không đổi
$\Rightarrow EF$ không đổi
$\Rightarrow d(O/EF)$ không đổi $\Rightarrow$ trung điểm $I$ của $EF$ thuộc đường cố định
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 10-08-2021 - 20:04
Tiếp tuyến tại $B, C$ của $(BMC)$ giao tại $T$
Đt qua $T // EF$ cắt $EC, BF$ tại $J, K$
Có $\widehat{TJC}=\widehat{FEC}=\widehat{FBC}=\widehat{JCT}$
$\Rightarrow TJ=TC$
Tương tự $TB=TK$
Mà $\widehat{TBC}=\widehat{TBM}+\widehat{MBC}=\widehat{MCB}+\widehat{MCT}=\widehat{TCB} \Rightarrow TB=TC$
Vậy $T$ là trung điểm $JK$
Theo bổ đề hình thang $\Rightarrow \overline{T,I,M}$
Hóng lời giải từ bài toán phụ của anh @youknower ạ
Tiếp tuyến tại $B, C$ của $(BMC)$ giao tại $T$
Đt qua $T // EF$ cắt $EC, BF$ tại $J, K$
Có $\widehat{TJC}=\widehat{FEC}=\widehat{FBC}=\widehat{JCT}$
$\Rightarrow TJ=TC$
Tương tự $TB=TK$
Mà $\widehat{TBC}=\widehat{TBM}+\widehat{MBC}=\widehat{MCB}+\widehat{MCT}=\widehat{TCB} \Rightarrow TB=TC$
Vậy $T$ là trung điểm $JK$
Theo bổ đề hình thang $\Rightarrow \overline{T,I,M}$
Hóng lời giải từ bài toán phụ của anh @youknower ạ
Cách giải của em hay đó
Lấy $T$ là trực tâm tam giác $MBC$ thì $T$ thuộc $(ABC)$ , khi đó $M$ cũng là trực tâm tam giác $TBC. X, Y$ là chân đường cao từ $B, C$ của $TBC$. Suy ra $TO$ vuông góc $XY$
Suy ra $XY$ là đường trung bình tam giác $MEF$ nên $XY//EF$ nên $TO$ vuông góc $EF$ tại trung điểm $I$ của $EF$ hay $MI$ là trung tuyến của tam giác $MXY (I$ cũng là trực tâm tam giác $TXY$ - có thể chứng minh)
Từ đó suy ra $MI$ là đường đối trung tam giác $MBC$ và có dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youknower: 10-08-2021 - 21:53
Bài toán chỉ cần sử dụng kết quả sau là ra câu b nhanh hơn
Cho 4 điểm đồng viên $A,B,C,D$ có $AC$ cắt $BD$ tại $M$. Khi đó trung tuyến qua $M$ của tam giác $MAB$ là đường đối trung của tam giác $MCD$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh