Chủ đề này có 2 trả lời

[thuvitoanhoc]

Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh bất đẳng thưc sau:

 

$\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}}{a+b+c+d}\geqslant abcd$

 

Dấu "=" xảy ra  <=>  a = b = c = d

[KietLW9]

Lời giải.

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: $\frac{a^5+b^5+c^5+d^5}{a+b+c+d}=\frac{\frac{a^6}{a}+\frac{b^6}{b}+\frac{c^6}{c}+\frac{d^6}{d}}{a+b+c+d}\geqslant \frac{\frac{(a^3+b^3+c^3+d^3)^2}{a+b+c+d}}{a+b+c+d}=\frac{(a^3+b^3+c^3+d^3)^2}{(a+b+c+d)^2}=\frac{(\frac{a^4}{a}+\frac{b^4}{b}+\frac{c^4}{c}+\frac{d^4}{d})^2}{(a+b+c+d)^2}\geqslant \frac{[\frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{a+b+c+d}]^2}{(a+b+c+d)^2}=(\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a+b+c+d})^4\geqslant (\frac{(a+b+c+d)^2}{4(a+b+c+d)})^4=(\frac{a+b+c+d}{4})^4\geqslant abcd$

[thuvitoanhoc]

Giưới thiệu các bạn cách 2 nhé:

Ap dụng BĐT Cô-si cho 5 số dương ta có: a⁵ + a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ >  5a²bcd

T/tự :                    b⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ + a⁵ >  5b²cda

                            c⁵ + c⁵ + d⁵ + a⁵ + b⁵ >  5c²dab

                             d⁵ + d⁵ + a⁵ + b⁵ + c⁵ >  5d²abc

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên được:

  5(a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵) >  5abcd(a+b+c+d) <=> a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ >  abcd(a+b+c+d)

<=> (a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵)/(a+b+c+d) > abcd (đpcm)

dấu đẳng thức xảy ra khi a⁵ = b⁵ = c⁵ = d⁵

<=>  a = b = c = d

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuvitoanhoc: 05-08-2021 - 22:25