Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh bất đẳng thưc sau:
$\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}}{a+b+c+d}\geqslant abcd$
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = d
Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh bất đẳng thưc sau:
$\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}}{a+b+c+d}\geqslant abcd$
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = d
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: $\frac{a^5+b^5+c^5+d^5}{a+b+c+d}=\frac{\frac{a^6}{a}+\frac{b^6}{b}+\frac{c^6}{c}+\frac{d^6}{d}}{a+b+c+d}\geqslant \frac{\frac{(a^3+b^3+c^3+d^3)^2}{a+b+c+d}}{a+b+c+d}=\frac{(a^3+b^3+c^3+d^3)^2}{(a+b+c+d)^2}=\frac{(\frac{a^4}{a}+\frac{b^4}{b}+\frac{c^4}{c}+\frac{d^4}{d})^2}{(a+b+c+d)^2}\geqslant \frac{[\frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{a+b+c+d}]^2}{(a+b+c+d)^2}=(\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a+b+c+d})^4\geqslant (\frac{(a+b+c+d)^2}{4(a+b+c+d)})^4=(\frac{a+b+c+d}{4})^4\geqslant abcd$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Giưới thiệu các bạn cách 2 nhé:
Ap dụng BĐT Cô-si cho 5 số dương ta có: a5 + a5 + b5 + c5 + d5 > 5a2bcd
T/tự : b5 + b5 + c5 + d5 + a5 > 5b2cda
c5 + c5 + d5 + a5 + b5 > 5c2dab
d5 + d5 + a5 + b5 + c5 > 5d2abc
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên được:
5(a5 + b5 + c5 + d5) > 5abcd(a+b+c+d) <=> a5 + b5 + c5 + d5 > abcd(a+b+c+d)
<=> (a5 + b5 + c5 + d5)/(a+b+c+d) > abcd (đpcm)
dấu đẳng thức xảy ra khi a5 = b5 = c5 = d5
<=> a = b = c = d
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuvitoanhoc: 05-08-2021 - 22:25
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh