Chủ đề này có 1 trả lời

[thuvitoanhoc]

Cho a,b,c > 0. Chứng minh bất đẳng thức :

 

$\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}$

 

dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi  a = b =c

 

 

[nguyenchithanh2511]

Ta có :

$\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}$(*)

$\Leftrightarrow 3a^{5}+3b^{5}+3c^{5}\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$\Leftrightarrow 2a^{5}+2b^{5}+2c^{5}\geq a^{3}b^{2}+a^{3}c^{2}+b^{3}c^{2}+b^{3}a^{2}+c^{3}a^{2}+c^{3}b^{2}$

$\Leftrightarrow(a^{3}-b^{3})(a^{2}-b^{2})+(b^{3}-c^{3})(b^{2}-c^{2})+(c^{3}-a^{3})(c^{2}-a^{2})\geq 0$

Ta có:Cần cm $(a^{3}-b^{3})(a^{2}-b^{2})+(b^{3}-c^{3})(b^{2}-c^{2})+(c^{3}-a^{3})(c^{2}-a^{2})\geq 0$(1)

$(a^{3}-b^{3})(a^{2}-b^{2})=(a^{2}+ab+b^{2})(a-b)^{2}(a+b)\geq 0$(luôn đúng với mọi a b >0)

Tương tự 

$(b^{3}-c^{3})(b^{2}-c^{2})=(b^{2}+cb+c^{2})(b-c)^{2}(c+b)\geq 0$

$(c^{3}-a^{3})(c^{2}-a^{2})=(c^{2}+ca+b^{2})(c-c)^{2}(c+a)\geq 0$

Suy ra (1) đã đc cm

Vậy (*) luôn đúng với mọi a b c >0

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenchithanh2511: 05-08-2021 - 23:06