Đến nội dung


Hình ảnh

$A = 23p + 3^p - 4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 ThachLam0403

ThachLam0403

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 06-08-2021 - 16:17

Với p là số nguyên tố lẻ, đặt $A = 23p + 3^p - 4$. Chứng minh rằng:

1. A không phải là số chính phương

2. A không phải là tích của hai số nguyên dương liên tiếp  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 06-08-2021 - 16:37
Tiêu đề + LaTeX


#2 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1563 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 15-09-2021 - 21:46

Câu a:

 

Giả sử $ A$ là số chính phương, thì theo định lý Fermat nhỏ: $ 3^p \equiv 3 \pmod p$

 

$\Rightarrow A \equiv 3 -4 \pmod p \Rightarrow A \equiv -1 \pmod p$

 

Suy ra $-1$ là số chính phương $\pmod p$ , Suy ra $ (-1)^{\frac{p-1}{2}}  \equiv 1 \pmod p$

 

Tức là $p$ phải có dạng $ p = 4k+1$ với $k$ là số nguyên dương.

 

Xét số dư của $A$ khi chia cho $4$ ta có:

 

$ A = 23(4k+1) + 3^{4k+1} - 4 \equiv  23 + 3 \cdot 3^{4k} \equiv  23 + 3 \cdot 81^{k}  \equiv 23 + 3 \cdot 1   \equiv  26  \pmod 4$

 

Suy ra $ A  \equiv 2  \pmod 4$

 

Vô lý vì một số chính phương thì khi chia cho $4$ chỉ có thể dư $1$ hoặc chia hết cho $4$

 

Nên giả sử ban đầu là sai và ta có điều phải chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 15-09-2021 - 21:55

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#3 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1563 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 16-09-2021 - 17:15

Câu b: Hi vọng là giải đúng

 

Ta dễ dàng kiểm tra với $p=3$ thì $ A = 92$ không phải tích của $2$ số nguyên dương liên tiếp.

Nên ta chỉ cần xét trường hợp $p> 3$ , thì hiển nhiên : $ 3 \not| p$

 

Giả sử $A$ có thể viết dưới dạng tích của $2$ số nguyên dương liên tiếp, tức là $A$ có dạng: $ A = n(n+1)$ với $n \in \mathbb{N}^{*}$

 

$ \Rightarrow 4A +1 = (2n+1)^2$, mà theo chứng minh ở trên thì ta đã có: $ A \equiv -1 \pmod p \Rightarrow 4A +1 \equiv -3 \pmod p  $

 

$ \Rightarrow  -3 \equiv (2n+1)^2 \pmod p  $

 

Suy ra $-3$ là số chính phương $\pmod p$

 

Mà theo luật tương hỗ Gauss: Do $-3$ là số chính phương $\pmod p$ nên chỉ có thể xảy ra $2$ trường hợp:

 

Trường hợp 1: $-1$ là số chính phương $\pmod p$  và $3$ là số chính phương $\pmod p$

 

Theo tiêu chuẩn này thì $p$ phải có dạng $4k+1$ , đồng thời cũng phải có dạng $12t  \pm 1$

 

Xét trên module 4 thì suy ra $p$ phải có dạng $p = 12t+1$

 

Bây giờ do $4A+1$ là số chính phương, ta xét số dư của $4A+1$ khi chia cho $3$ , chú ý là  hiển nhiên $3 | 3^p$ :

 

$ 4A+1 \equiv A+1 \equiv 23p -4 +1  \equiv 23p \equiv 23(12t+1)  \equiv  23 \equiv 2 \pmod 3$

 

Suy ra: $ 4A+1 \equiv 2 \pmod 3$

 

Vô lý vì một số chính phương thì khi chia cho $3$ chỉ có thể dư $1$ hoặc chia hết cho $3$

Trường hợp 2: 
$-1$ không là số chính phương $\pmod p$  và $3$ không là số chính phương $\pmod p$

 

Tức là: $p$ phải có dạng $ p = 4k+3$ và $p $ không có dạng $ 12t \pm 1$, $ p$ không chia hết cho $3$

 

Thì ta dễ thấy chỉ có $1$ trường hợp là: $ p = 12t +7$

 

Cũng bằng cách xét số dư của $4A +1$ khi chia cho $3$ như ở trên , ta thấy cũng không thể xảy ra trường hợp $2$ này được.

 

Do đó giả sử ban đầu là sai và ta có điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 16-09-2021 - 17:38

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh