Câu b: Hi vọng là giải đúng
Ta dễ dàng kiểm tra với $p=3$ thì $ A = 92$ không phải tích của $2$ số nguyên dương liên tiếp.
Nên ta chỉ cần xét trường hợp $p> 3$ , thì hiển nhiên : $ 3 \not| p$
Giả sử $A$ có thể viết dưới dạng tích của $2$ số nguyên dương liên tiếp, tức là $A$ có dạng: $ A = n(n+1)$ với $n \in \mathbb{N}^{*}$
$ \Rightarrow 4A +1 = (2n+1)^2$, mà theo chứng minh ở trên thì ta đã có: $ A \equiv -1 \pmod p \Rightarrow 4A +1 \equiv -3 \pmod p $
$ \Rightarrow -3 \equiv (2n+1)^2 \pmod p $
Suy ra $-3$ là số chính phương $\pmod p$
Mà theo luật tương hỗ Gauss: Do $-3$ là số chính phương $\pmod p$ nên chỉ có thể xảy ra $2$ trường hợp:
Trường hợp 1: $-1$ là số chính phương $\pmod p$ và $3$ là số chính phương $\pmod p$
Theo tiêu chuẩn này thì $p$ phải có dạng $4k+1$ , đồng thời cũng phải có dạng $12t \pm 1$
Xét trên module 4 thì suy ra $p$ phải có dạng $p = 12t+1$
Bây giờ do $4A+1$ là số chính phương, ta xét số dư của $4A+1$ khi chia cho $3$ , chú ý là hiển nhiên $3 | 3^p$ :
$ 4A+1 \equiv A+1 \equiv 23p -4 +1 \equiv 23p \equiv 23(12t+1) \equiv 23 \equiv 2 \pmod 3$
Suy ra: $ 4A+1 \equiv 2 \pmod 3$
Vô lý vì một số chính phương thì khi chia cho $3$ chỉ có thể dư $1$ hoặc chia hết cho $3$
Trường hợp 2: $-1$ không là số chính phương $\pmod p$ và $3$ không là số chính phương $\pmod p$
Tức là: $p$ phải có dạng $ p = 4k+3$ và $p $ không có dạng $ 12t \pm 1$, $ p$ không chia hết cho $3$
Thì ta dễ thấy chỉ có $1$ trường hợp là: $ p = 12t +7$
Cũng bằng cách xét số dư của $4A +1$ khi chia cho $3$ như ở trên , ta thấy cũng không thể xảy ra trường hợp $2$ này được.
Do đó giả sử ban đầu là sai và ta có điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 16-09-2021 - 17:38