Giải hệ phương trình:$\sqrt{x+y}(\sqrt{y}+1)=\sqrt{x^2+y^2}+2$ và $x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^2+4y-4}{2}$
#2
Đã gửi 28-02-2022 - 20:50
ĐKXĐ: $x,y\geq 2$
Phân tích (2) có:
$VT=2.\frac{x}{2}.\sqrt{y-1}+2.\frac{y}{2}.\sqrt{x-1}\leq \frac{x^{2}}{4}+y-1+\frac{y^{2}}{4}+x-1$
$\Rightarrow VP=\frac{x^{2}+4y-4}{2}\leq \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}+x+y-2\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}-4x+4y\leq 0\Leftrightarrow (x-y)(x+y-4)\leq 0$
Mặt khác, có:
$(1)\Leftrightarrow \sqrt{xy+y^{2}}+\sqrt{x+y}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+2\Leftrightarrow \sqrt{x+y}-2=\sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sqrt{xy+y^{2}}$
$\Leftrightarrow \frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}+2}=\frac{x(x-y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{xy+y^{2}}}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{xy+y^{2}}}{x(\sqrt{x+y}+2)}=\frac{x-y}{x+y-4}$
$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-4)=\frac{\sqrt{(x^{2}+y^{2}}+\sqrt{xy+y^{2}})(x+y-4)^{2}}{x(\sqrt{x+y}+2)}\geq 0$
Ta thấy để HPT có nghiệm thì $(x-y)(x+y-4)=0$$\Leftrightarrow x=y=2$
- Aisha0303 yêu thích
Dư Hấu
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh