Đến nội dung

Hình ảnh

Giải hệ phương trình:$\sqrt{x+y}(\sqrt{y}+1)=\sqrt{x^2+y^2}+2$ và $x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^2+4y-4}{2}$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+y}(\sqrt{y}+1)=\sqrt{x^2+y^2}+2 & \\ x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^2+4y-4}{2} & \end{matrix}\right.$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#2
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

ĐKXĐ: $x,y\geq 2$

Phân tích (2) có:

$VT=2.\frac{x}{2}.\sqrt{y-1}+2.\frac{y}{2}.\sqrt{x-1}\leq \frac{x^{2}}{4}+y-1+\frac{y^{2}}{4}+x-1$

$\Rightarrow VP=\frac{x^{2}+4y-4}{2}\leq \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}+x+y-2\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}-4x+4y\leq 0\Leftrightarrow (x-y)(x+y-4)\leq 0$

Mặt khác, có:

$(1)\Leftrightarrow \sqrt{xy+y^{2}}+\sqrt{x+y}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+2\Leftrightarrow \sqrt{x+y}-2=\sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sqrt{xy+y^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}+2}=\frac{x(x-y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{xy+y^{2}}}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{xy+y^{2}}}{x(\sqrt{x+y}+2)}=\frac{x-y}{x+y-4}$

$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-4)=\frac{\sqrt{(x^{2}+y^{2}}+\sqrt{xy+y^{2}})(x+y-4)^{2}}{x(\sqrt{x+y}+2)}\geq 0$

Ta thấy để HPT có nghiệm thì $(x-y)(x+y-4)=0$$\Leftrightarrow x=y=2$

~O)  ~O)  ~O) 


Dư :unsure: Hấu   





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh