Đến nội dung

Hình ảnh

có bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số sao cho chữ số 1 được lặp đúng $a_1$ lần, ..., chữ số 9 được lặp đúng $a_9$ lần

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
128tt

128tt

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết

Câu 1: Cho tập A={1;3;6}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 12 chữ số sao cho thỏa mãn cả hai điều kiện sau đây:

i. Chữ số 1 được lặp lại đúng 3 lần, chữ số 3 được lặp lại đúng 4 lần và chữ số 6 được lặp đúng 5 lần

ii. Các chữ số giống nhau không được đứng cạnh nhau

Mn giúp mình bài này với. Mình có tổng quát bài này lên nhưng không biết phát biểu có đúng không có gì mn ý kiến với ạ

Tổng quát: Cho các số tự nhiên từ 1 đến 9. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số sao cho  chữ số 1 được lặp đúng $a_1$ lần, ..., chữ số 9 được lặp đúng $a_9$ lần với $a_1+a_2+...+a_9=n; 1\le a_1,...,a_9 ; n \ge 3$ đồng thời các chữ số giống nhau thì không được đứng cạnh nhau


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 08-08-2021 - 22:05
Tiêu đề + LaTeX


#2
Dang Hong Ngoc

Dang Hong Ngoc

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết

Giả sử $12$ chữ số có thể xếp vào một hàng, số cách xếp cũng là số các số thoả đề bài : 

Xếp $5$ chữ số $6$ trước tạo ra $6$ khoảng trống $A,B,C,D,E,F$, có $1$ cách : $\underline{A}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{B}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{C}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{D}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{E}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{F}$

TH1: Lấy một chữ số $1$ và một chữ số $3$ ghép thành một cặp (coi như một phần tử), xếp cặp này và hai chữ số $1$, ba chữ số $3$ vào $6$ khoảng trống trên, có: $\dfrac{6!.2!}{2!.3!}=120$ cách.

TH2: Lấy hai chữ số $1$ và hai chữ số $3$ ghép thành hai cặp (mỗi cặp gồm một số $1$ và một số $3$). Xếp hai cặp này và một chữ số $1$, hai chữ số $3$ vào $A,B,C,D,E$ có: $\dfrac{5!.2!.2!}{2!.2!}=120$ cách, tương tự vào $B,C,D,E,F$ cũng có: $120$ cách. Trường hợp này có $240$ cách.

TH3: Lấy ba chữ số $1$ và ba chữ số $3$ ghép thành ba cặp (mỗi cặp gồm một số $1$ và một số $3$). Xếp ba cặp này và một chữ số $3$ vào $B,C,D,E$ có: $\dfrac{4!.2!.2!.2!}{3!}=32$ cách.

Tổng cộng có $392$ số thoả đề bài.



#3
128tt

128tt

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết

Minh thấy hình như không đúng ở khúc đầu lắm nếu xếp 6 trước thì hình như có rất nhiều trường hợp như 600606060606

 

Giả sử $12$ chữ số có thể xếp vào một hàng, số cách xếp cũng là số các số thoả đề bài : 

Xếp $5$ chữ số $6$ trước tạo ra $6$ khoảng trống $A,B,C,D,E,F$, có $1$ cách : $\underline{A}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{B}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{C}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{D}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{E}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{F}$

TH1: Lấy một chữ số $1$ và một chữ số $3$ ghép thành một cặp (coi như một phần tử), xếp cặp này và hai chữ số $1$, ba chữ số $3$ vào $6$ khoảng trống trên, có: $\dfrac{6!.2!}{2!.3!}=120$ cách.

TH2: Lấy hai chữ số $1$ và hai chữ số $3$ ghép thành hai cặp (mỗi cặp gồm một số $1$ và một số $3$). Xếp hai cặp này và một chữ số $1$, hai chữ số $3$ vào $A,B,C,D,E$ có: $\dfrac{5!.2!.2!}{2!.2!}=120$ cách, tương tự vào $B,C,D,E,F$ cũng có: $120$ cách. Trường hợp này có $240$ cách.

TH3: Lấy ba chữ số $1$ và ba chữ số $3$ ghép thành ba cặp (mỗi cặp gồm một số $1$ và một số $3$). Xếp ba cặp này và một chữ số $3$ vào $B,C,D,E$ có: $\dfrac{4!.2!.2!.2!}{3!}=32$ cách.

Tổng cộng có $392$ số thoả đề bài.



#4
Dang Hong Ngoc

Dang Hong Ngoc

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết

Minh thấy hình như không đúng ở khúc đầu lắm nếu xếp 6 trước thì hình như có rất nhiều trường hợp như 600606060606

Cái đấy mình có xét ở 3 trường hợp dưới mà, VD như: $6$ $-$ $?$ $-$ $?$ $-$ $6$ $-$ $?$ $-$ $?$ $-$ $6$ $-$ $?$ $-$ $?$ $-$ $6$ $-$ $?$ $-$ $6$ có trong TH3.



#5
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Câu 1: Cho tập A={1;3;6}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 12 chữ số sao cho thỏa mãn cả hai điều kiện sau đây:

i. Chữ số 1 được lặp lại đúng 3 lần, chữ số 3 được lặp lại đúng 4 lần và chữ số 6 được lặp đúng 5 lần

ii. Các chữ số giống nhau không được đứng cạnh nhau

Mn giúp mình bài này với. Mình có tổng quát bài này lên nhưng không biết phát biểu có đúng không có gì mn ý kiến với ạ

Tổng quát: Cho các số tự nhiên từ 1 đến 9. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số sao cho  chữ số 1 được lặp đúng $a_1$ lần, ..., chữ số 9 được lặp đúng $a_9$ lần với $a_1+a_2+...+a_9=n; 1\le a_1,...,a_9 ; n \ge 3$ đồng thời các chữ số giống nhau thì không được đứng cạnh nhau

Xếp $5$ chữ số $6$ tạo ra $6$ khoảng trống : $A-6-B-6-C-6-D-6-E-6-F$

+ TH1 : Ghép $1$ với $3$ thành 1 cặp ($2$ cách ghép), rồi xếp cặp đó cùng với $1,1,3,3,3$ vào $6$ chỗ trống : $2.6.C_5^2=120$ cách

+ TH2 : Ghép thành $2$ cặp (gồm 2 chữ số khác nhau), rồi xếp chúng cùng với $1,3,3$ vào $5$ chỗ trống (bỏ $A$ hoặc $F$) : $240$ cách

+ TH3 : Xếp $\overline{131},1,3,3,3$ vào $5$ chỗ trống (bỏ $A$ hoặc $F$) : $2.5.4=40$ cách.

+ TH4 : Xếp $\overline{313},1,1,3,3$ vào $5$ chỗ trống (bỏ $A$ hoặc $F$) : $2.5.C_4^2=60$ cách.

+ TH5 : Ghép thành $3$ cặp (gồm 2 chữ số khác nhau), rồi xếp cùng với chữ số $3$ còn lại vào $B,C,D,E$ : $32$ cách

+ TH6 : Xếp $\overline{131},\overline{13}$ (hoặc $\overline{31}$) và $3,3$ vào $B,C,D,E$ : $2.4.3=24$ cách.

+ TH7 : Xếp $\overline{313},\overline{13}$ (hoặc $\overline{31}$) và $1,3$ vào $B,C,D,E$ : $2.4!=48$ cách.

+ TH8 : Xếp $\overline{1313}$ (hoặc $\overline{3131}$) và $1,3,3$ vào $B,C,D,E$ : $2.4.3=24$ cách.

 

Tổng cộng có $588$ số thỏa mãn.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6
128tt

128tt

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết

Dạ thế cho em hỏi bài này giải quyết như thế nào ạ. Liệu những bài toán dạng này có cách giải nào hay hơn không chứ kiểu liệt kê này em thường hay thiếu lắm

Cho tập A={2;3;4}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số sao cho thỏa mãn cả hai điều kiện sau đây:

i. Chữ số 2 được lặp lại đúng 2 lần, chữ số 3 được lặp lại đúng 4 lần và chữ số 4 được lặp đúng 4 lần

ii. Các chữ số giống nhau không được đứng cạnh nhau



#7
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Giải bằng hàm sinh có lẽ đỡ vất vả hơn...
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#8
128tt

128tt

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết

Dạ cho em hỏi có tài liệu nào về áp dụng hàm sinh vào trong tổ hợp không ạ. PP này mới quá em chưa tiếp xúc

Giải bằng hàm sinh có lẽ đỡ vất vả hơn...



#9
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

Dạ thế cho em hỏi bài này giải quyết như thế nào ạ. Liệu những bài toán dạng này có cách giải nào hay hơn không chứ kiểu liệt kê này em thường hay thiếu lắm
Cho tập A={2;3;4}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số sao cho thỏa mãn cả hai điều kiện sau đây:

i. Chữ số 2 được lặp lại đúng 2 lần, chữ số 3 được lặp lại đúng 4 lần và chữ số 4 được lặp đúng 4 lần

ii. Các chữ số giống nhau không được đứng cạnh nhau

Dạ cho em hỏi có tài liệu nào về áp dụng hàm sinh vào trong tổ hợp không ạ. PP này mới quá em chưa tiếp xúc

- PP này cũng không quá mới, tài liệu thì rất phong phú trên mạng ( bạn search với từ khóa generating functions), đây là một công cụ rất powerful, nhất là đối với các bài toán đếm.
Để mình họa, mình sẽ dùng hàm sinh để giải bài toán trên.
Hàm sinh cho số cách xếp csố 2:$\left ( \frac{x^2}{2!}-\binom{1}{1}x \right )$
Hàm sinh cho số cách xếp csố 3 hoặc csố 4:$\left ( \frac{x^4}{4!}-\binom{3}{1}\frac{x^3}{3!}+\binom{3}{2}\frac{x^2}{2!}-\binom{3}{3}x \right )$
Hàm sinh cho các cách viết 3 csố này :
$G\left ( x \right )=\left ( \frac{x^2}{2!}-x \right )\cdot \left ( \frac{x^4}{4!}-\frac{3x^3}{3!}+\frac{3x^2}{2!}-x \right )^2 =\frac{x^{10}}{2!4!4!}-\frac{3x^9}{2!3!4!}+\frac{3x^8}{2!2!4!}-\frac{x^7}{2!4!}-\frac{x^9}{4!4!}+\frac{3x^8}{3!4!}-\frac{3x^7}{2!4!}+\frac{x^6}{4!}-\frac{3x^9}{2!3!4!}+\frac{9x^8}{2!3!3!}-\frac{9x^7}{2!2!3!}+\frac{3x^6}{2!3!}+\frac{3x^8}{3!4!}-\frac{9x^7}{3!3!}+\frac{9x^6}{2!3!}-\frac{3x^5}{3!}+\frac{3x^8}{2!2!4!}-\frac{9x^7}{2!2!3!}+\frac{9x^6}{2!2!2!}-\frac{3x^5}{2!2!}-\frac{3x^7}{2!4!}+\frac{9x^6}{2!3!}-\frac{9x^5}{2!2!}+\frac{3x^4}{2!}-\frac{x^7}{2!4!}+\frac{3x^6}{2!3!}-\frac{3x^5}{2!2!}+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{4!}-\frac{3x^5}{3!}+\frac{3x^4}{2!}-x^3 $
Thế các $x^k$ bằng $k!$ ta được số các số thỏa yêu cầu đề bài :
$3150-3870+1260-105-630+840-315+30-3780+5040-1890+180+840-1260+540-60+1260-1890+810-90-35+540-270+36-105+180-90+12+30-60+36-6=\boxed {138}$
PS: Mình lười check lại, không biết có nhầm chỗ nào không...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 10-08-2021 - 11:18

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#10
128tt

128tt

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết

Dạ em cảm ơn ạ

- PP này cũng không quá mới, tài liệu thì rất phong phú trên mạng ( bạn search với từ khóa generating functions), đây là một công cụ rất powerful, nhất là đối với các bài toán đếm.
Để mình họa, mình sẽ dùng hàm sinh để giải bài toán trên.
Hàm sinh cho số cách xếp csố 2:$\left ( \frac{x^2}{2!}-\binom{1}{1}x \right )$
Hàm sinh cho số cách xếp csố 3 hoặc csố 4:$\left ( \frac{x^4}{4!}-\binom{3}{1}\frac{x^3}{3!}+\binom{3}{2}\frac{x^2}{2!}-\binom{3}{3}x \right )$
Hàm sinh cho các cách viết 3 csố này :
$G\left ( x \right )=\left ( \frac{x^2}{2!}-x \right )\cdot \left ( \frac{x^4}{4!}-\frac{3x^3}{3!}+\frac{3x^2}{2!}-x \right )^2 =\frac{x^{10}}{2!4!4!}-\frac{3x^9}{2!3!4!}+\frac{3x^8}{2!2!4!}-\frac{x^7}{2!4!}-\frac{x^9}{4!4!}+\frac{3x^8}{3!4!}-\frac{3x^7}{2!4!}+\frac{x^6}{4!}-\frac{3x^9}{2!3!4!}+\frac{9x^8}{2!3!3!}-\frac{9x^7}{2!2!3!}+\frac{3x^6}{2!3!}+\frac{3x^8}{3!4!}-\frac{9x^7}{3!3!}+\frac{9x^6}{2!3!}-\frac{3x^5}{3!}+\frac{3x^8}{2!2!4!}-\frac{9x^7}{2!2!3!}+\frac{9x^6}{2!2!2!}-\frac{3x^5}{2!2!}-\frac{3x^7}{2!4!}+\frac{9x^6}{2!3!}-\frac{9x^5}{2!2!}+\frac{3x^4}{2!}-\frac{x^7}{2!4!}+\frac{3x^6}{2!3!}-\frac{3x^5}{2!2!}+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{4!}-\frac{3x^5}{3!}+\frac{3x^4}{2!}-x^3 $
Thế các $x^k$ bằng $k!$ ta được số các số thỏa yêu cầu đề bài :
$3150-3870+1260-105-630+840-315+30-3780+5040-1890+180+840-1260+540-60+1260-1890+810-90-35+540-270+36-105+180-90+12+30-60+36-6=\boxed {138}$
PS: Mình lười check lại, không biết có nhầm chỗ nào không...ạ



#11
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Check lại theo cách "truyền thống" :

----------------------------------------

Xếp $4$ chữ số $4$ : $A-4-B-4-C-4-D-4-E$

+ TH1 : Ghép $2$ với $3$ thành 1 cặp, rồi xếp cặp đó cùng với $2,3,3,3$ vào $5$ chỗ trống : $2.5.4=40$ cách

+ TH2 : Ghép $2$ cặp (gồm 2 chữ số khác nhau) rồi xếp cùng với $3,3$ vào $4$ chỗ trống : $2.(C_4^2+C_4^2+4.3)=48$ cách

+ TH3 : Xếp $\overline{232}$ (hoặc $\overline{323}$) và 3 chữ số còn lại vào $4$ chỗ trống : $2(4.1+4.3)=32$ cách

+ TH4 : Xếp $\overline{323}$ và $\overline{23}$ (hoặc $\overline{32}$) cùng với $3$ vào $3$ chỗ : $2.3!=12$ cách

+ TH5 : Xếp $\overline{2323}$ (hoặc $\overline{3232}$) cùng với $3,3$ vào $3$ chỗ : $2.3=6$ cách

Kết quả cuối cùng : $40+48+32+12+6=138$ số thỏa mãn yêu cầu.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh