Cho dãy số XĐ bởi:$u_{1}=\frac{2}{3}; u_{n+1}=\frac{u_{n}}{2(2n+1)u_{n}+1} \forall n\geq 1$
Tìm tất cả giá trị n để: $\sum_{k=1}^{n}u_{k}=\frac{2018}{2019}$
Cho dãy số XĐ bởi:$u_{1}=\frac{2}{3}; u_{n+1}=\frac{u_{n}}{2(2n+1)u_{n}+1} \forall n\geq 1$
Tìm tất cả giá trị n để: $\sum_{k=1}^{n}u_{k}=\frac{2018}{2019}$
$u_{n+1}=\dfrac{u_{n}}{2\left(2n+1\right)u_{n}+1}\Rightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{u_{n}}+4n+2\Rightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}-2\left(n+1\right)^{2}=\dfrac{1}{u_{n}}-2n^{2}$
Đặt $v_{n}=\dfrac{1}{u_{n}}-2n^{2}$ ta được dãy: $v_{n+1}=v_{n}=v_{1}=\dfrac{1}{u_{1}}-2.1^{2}=\dfrac{-1}{2}$
$\Rightarrow u_{n}=\dfrac{1}{2n^{2}-\dfrac{1}{2}}$
$\Rightarrow \displaystyle\sum^{n}_{k=1}u_{k}=\dfrac{2}{4k^{2}-1}=\displaystyle\sum^{n}_{k=1}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right)=1-\dfrac{1}{2n+1}=\dfrac{2018}{2019}\Leftrightarrow n=1009$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh