Cho 3 số nguyên dương $a,b,n$ thoả mãn $\frac{1}{n}=\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}$. Chứng minh n là hợp số
Cho 3 số nguyên dương $a,b,n$ thoả mãn $\frac{1}{n}=\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}$.
Bắt đầu bởi kogioitoan, 10-08-2021 - 09:13
#1
Đã gửi 10-08-2021 - 09:13
#2
Đã gửi 13-08-2021 - 14:39
Cho 3 số nguyên dương $a,b,n$ thoả mãn $\frac{1}{n}=\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}$. Chứng minh n là hợp số
Ai giúp mình với (
#3
Đã gửi 13-08-2021 - 14:58
Giả sử n là số nguyên tố. Ta có $(a^3-n)(b^3-n)=n^2$ và $a^3-n>0;b^3-n>0$.
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\leq b$. Ta có 2 TH:
+) $a^3-n=1;b^3-n=n^2$: Khi đó $n(n+1)=b^3$ mà $(n,n+1)=1$ nên n và $n+1$ là số lập phương. Suy ra $n=0$ (vô lí)
+) $a^3-n=b^3-n=n$: Khi đó $2n=a^3$. Từ đó $a\vdots 2$ nên $n\vdots 4$, vô lí vì n là số nguyên tố.
Vậy n là hợp số.
- kogioitoan yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh