Đến nội dung

Hình ảnh

$2^{x}-3^{y}=1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
lindastraton4

lindastraton4

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Tìm tất cả x và y nguyên dương sao cho.

$2^{x}-3^{y}=1$



#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Từ phương trình trên suy ra: $3^y=2^x-1$

Dễ thấy với mọi y nguyên dương thì $3^y\vdots 3$ nên $2^x-1\vdots 3$

Với $x$ lẻ thì $2^x-1=(3-1)^x-1$ chia 3 dư -2 nên suy ra $x$ chẵn

Đặt $x=2k$ thì $3^y=(2^k)^2-1=(2^k+1)(2^k-1)$

Dễ có $2^k+1$ và $2^k-1$ nguyên tố cùng nhau nên đặt $\left\{\begin{matrix}2^k+1=3^m & \\ 2^k-1=3^n & \end{matrix}\right.\Rightarrow 3^m-3^n=2$

Nếu $m,n>0$ thì vế trái chia hết cho 3 nên vô lí. Vậy tồn tại một số bằng không mà $m>n$ nên $n = 0$ suy ra $m = 1$

Từ trên suy ra $k=1$ suy ra $x=2,y=1$

Vậy $x=2,y=1$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#3
lindastraton4

lindastraton4

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Từ phương trình trên suy ra: $3^y=2^x-1$

Dễ thấy với mọi y nguyên dương thì $3^y\vdots 3$ nên $2^x-1\vdots 3$

Với $x$ lẻ thì $2^x-1=(3-1)^x-1$ chia 3 dư -2 nên suy ra $x$ chẵn

Đặt $x=2k$ thì $3^y=(2^k)^2-1=(2^k+1)(2^k-1)$

Dễ có $2^k+1$ và $2^k-1$ nguyên tố cùng nhau nên đặt $\left\{\begin{matrix}2^k+1=3^m & \\ 2^k-1=3^n & \end{matrix}\right.\Rightarrow 3^m-3^n=2$

Nếu $m,n>0$ thì vế trái chia hết cho 3 nên vô lí. Vậy tồn tại một số bằng không mà $m>n$ nên $n = 0$ suy ra $m = 1$

Từ trên suy ra $k=1$ suy ra $x=2,y=1$

Vậy $x=2,y=1$

 

Trường hợp (1,0) có được xem là cặp nghiệm không nhỉ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lindastraton4: 11-08-2021 - 22:03


#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Trường hợp (1,0) có được xem là cặp nghiệm không nhỉ?

y nguyên dương nên chắc không được


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#5
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Trường hợp (1,0) có được xem là cặp nghiệm không nhỉ?

Nếu là tìm nghiệm tự nhiên thì $3^y$ chưa chắc chia hết cho 3 nên phải xét thêm $y=0$ nên tìm được một cặp nữa là $(x,y) = (1,0)$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh