Cmr $\forall a,b,c \in \mathbb{R}$, ta luôn có BĐT :
$a(a^{3}+b^{3})+b(b^{3}+c^{3})+c(c^{3}+a^{3})\geqslant 0$
dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 13-08-2021 - 20:39
LaTeX
Cmr $\forall a,b,c \in \mathbb{R}$, ta luôn có BĐT :
$a(a^{3}+b^{3})+b(b^{3}+c^{3})+c(c^{3}+a^{3})\geqslant 0$
dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 13-08-2021 - 20:39
LaTeX
Ta luôn có: $(a-b)^2\geqslant 0\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\geqslant \frac{1}{2}(a^2+b^2)$
$\Rightarrow a(a^3+b^3)=a(a+b)(a^2-ab+b^2)\geqslant \frac{1}{2}a(a+b)(a^2+b^2)$
Tương tự ta quy bất đẳng thức cần chứng minh về dạng: $a(a+b)(a^2+b^2)+b(b+c)(b^2+c^2)+c(c+a)(c^2+a^2)\geqslant 0$
Lại có: $(a+b)^2\geqslant 0\Leftrightarrow a(a+b)\geqslant \frac{a^2-b^2}{2}\Rightarrow a(a+b)(a^2+b^2)\geqslant \frac{a^4-b^4}{2}$
Tương tự rồi cộng lại ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Ta luôn có: $(a-b)^2\geqslant 0\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\geqslant \frac{1}{2}(a^2+b^2)$
$\Rightarrow a(a^3+b^3)=a(a+b)(a^2-ab+b^2)\geqslant \frac{1}{2}a(a+b)(a^2+b^2)$
Mình nghĩ a(a + b) chưa chắc không âm nên không thể làm như vậy
Mình nghĩ a(a + b) chưa chắc không âm nên không thể làm như vậy
Ừ, mình cũng vừa phát hiện ra. Nhưng cái này giống bài $a(a+b)(a^2+b^2)+b(b+c)(b^2+c^2)+c(c+a)(c^2+a^2)\geqslant 0$ nên chắc quy về hướng đó
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh