Đến nội dung

Hình ảnh

$a(a^{3}+b^{3})+b(b^{3}+c^{3})+c(c^{3}+a^{3})\geqslant 0$

- - - - - bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Ho Thi Thanh Truc

Ho Thi Thanh Truc

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết

Cmr   $\forall a,b,c \in \mathbb{R}$, ta luôn có BĐT :

 

$a(a^{3}+b^{3})+b(b^{3}+c^{3})+c(c^{3}+a^{3})\geqslant 0$

 

dấu "=" xảy ra  $\Leftrightarrow a = b = c = 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 13-08-2021 - 20:39
LaTeX


#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Ta luôn có: $(a-b)^2\geqslant 0\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\geqslant \frac{1}{2}(a^2+b^2)$

$\Rightarrow a(a^3+b^3)=a(a+b)(a^2-ab+b^2)\geqslant \frac{1}{2}a(a+b)(a^2+b^2)$

Tương tự ta quy bất đẳng thức cần chứng minh về dạng: $a(a+b)(a^2+b^2)+b(b+c)(b^2+c^2)+c(c+a)(c^2+a^2)\geqslant 0$

Lại có: $(a+b)^2\geqslant 0\Leftrightarrow a(a+b)\geqslant \frac{a^2-b^2}{2}\Rightarrow a(a+b)(a^2+b^2)\geqslant \frac{a^4-b^4}{2}$

Tương tự rồi cộng lại ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=0$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#3
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Ta luôn có: $(a-b)^2\geqslant 0\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\geqslant \frac{1}{2}(a^2+b^2)$

$\Rightarrow a(a^3+b^3)=a(a+b)(a^2-ab+b^2)\geqslant \frac{1}{2}a(a+b)(a^2+b^2)$

Mình nghĩ a(a + b) chưa chắc không âm nên không thể làm như vậy



#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Mình nghĩ a(a + b) chưa chắc không âm nên không thể làm như vậy

Ừ, mình cũng vừa phát hiện ra. Nhưng cái này giống bài $a(a+b)(a^2+b^2)+b(b+c)(b^2+c^2)+c(c+a)(c^2+a^2)\geqslant 0$ nên chắc quy về hướng đó


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#5
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Ta có 

$a^4+3b^4+4ab^3=(a+b)^2(a^2-2ab+3b^2)\geq 0$. Tương tự rồi cộng lại ta có đpcm.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh