Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh các tập đóng trong $\mathbb{R}^{2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Luan Tran

Luan Tran

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Chứng minh các tập đóng trong $\mathbb{R}^{2}$

$A= \left \{ \left ( x, y \right )\in\mathbb{R}^{2}\mid xy= 1\right \}$

$B= \left \{ \left ( x, y \right )\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+ y^{3}= 1\right \}$

$C= \left \{ \left ( x, y \right )\in\mathbb{R}^{2}\mid 0\leq xy+ x^{2}- y^{3}= 1\right \}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 19-07-2022 - 16:10


#2
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Ta sẽ sử dụng mệnh đề sau :  A là một tập đóng trong $\mathbb{R^2}$ nếu và chỉ nếu mọi dãy trong A, nếu hội tụ trong $\mathbb{R^2}$ thì giới hạn của nó thuộc A.

 

a)   Với dãy $\left \{ \left ( x_n,y_n \right ) \right \}$ trong A hội tụ về $\left ( x,y \right )$ trong $\mathbb{R^2}$. Ta có $\left ( x_n,y_n \right )\in A$ nên $x_ny_n=1$ hay $x_n=\frac{1}{y_n}$.

 

Do một dãy số chỉ có duy nhất một giới hạn nên $x=\lim_{n\rightarrow \infty }x_n=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{y_n}=\frac{1}{y}$, điều này dẫn đến $xy=1$ hay $\left ( x,y \right )\in A$.

 

Vậy  $A=\left \{ \left ( x,y \right )\in\mathbb{R^2}\mid xy=1 \right \}$ là tập đóng

 

Câu b), c) lập luận tương tự


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 19-07-2022 - 16:12





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh