Chủ đề này có 8 trả lời

[netcomath]

Cho dãy số thực: 

$ x_1=2006$ ; $x_{n+1}=\sqrt{3}+\frac{x_n}{\sqrt{x_{n}^{2}-1}}$

Tính $\lim\limits_{n \to+ \infty} x_n$

[chanhquocnghiem]

Cho dãy số thực: 

$ x_1=2006$ ; $x_{n+1}=\sqrt{3}+\frac{x_n}{\sqrt{x_{n}^{2}-1}}$

Tính $\lim\limits_{n \to+ \infty} x_n$

Đặt $\lim_{n \to +\infty} x_n=L$ ($L> 0$)

Ta có : $\sqrt{3}+\frac{L}{\sqrt{L^2-1}}=L\Rightarrow L=\frac{\sqrt3+\sqrt{15}}{2}$.
 

[pcoVietnam02]

Đặt $\lim_{n \to +\infty} x_n=L$ ($L> 0$)

Ta có : $\sqrt{3}+\frac{L}{\sqrt{L^2-1}}=L\Rightarrow L=\frac{\sqrt3+\sqrt{15}}{2}$.
 

 

Nhưng mà phải chứng minh dãy hội tụ đã rồi quy về phương trình giới hạn 

[netcomath]

Nhưng mà phải chứng minh dãy hội tụ đã rồi quy về phương trình giới hạn 

 

Bạn chứng minh được nó hội tụ không

[phuc_90]

Bạn chứng minh được nó hội tụ không

 

Đặt $f(x)=\sqrt{3}+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$  ta có $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R^+}\setminus \{\pm 1\}$

 

và $f'(x)=-\frac{1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}<0$ suy ra $f(x)$ là hàm nghịch biến trên $\mathbb{R^+}\setminus \{\pm 1\}$

 

Với $x_1=2006$ suy ra $x_2\approx 2.73$ và $x_3\approx 2.81$

 

Khi đó $x_1>x_3 \Rightarrow x_2=f(x_1)<f(x_3)=x_4 \Rightarrow x_3=f(x_2)>f(x_4)=x_5$

 

Bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh được $(x_{2n+1})$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi $1+\sqrt{3}$

 

$(x_{2n})$ là dãy tăng và bị chặn trên bởi $\sqrt{3}+\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}}$

 

Khi đó giới hạn của dãy $(x_{2n+1})$, $(x_{2n})$ tồn tại, đặt $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{2n+1}=a$ và $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{2n}=b$

 

Từ đó ta tìm nghiệm của hệ $$\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{3}+\frac{a}{\sqrt{a^2-1}}\\ b=\sqrt{3}+\frac{b}{\sqrt{b^2-1}}\end{matrix}\right.$$  với $a\geq 1+\sqrt{3}$ và $1+\sqrt{3}<b\leq \sqrt{3}+\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}}$

 

Hệ có nghiệm $a=b=\frac{1}{2}\left ( \sqrt{3}+\sqrt{15} \right )$

 

Suy ra $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\frac{1}{2}\left ( \sqrt{3}+\sqrt{15} \right )$

[pcoVietnam02]

Đặt $f(x)=\sqrt{3}+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$  ta có $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R^+}\setminus \{\pm 1\}$

 

và $f'(x)=-\frac{1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}<0$ suy ra $f(x)$ là hàm nghịch biến trên $\mathbb{R^+}\setminus \{\pm 1\}$

 

Với $x_1=2006$ suy ra $x_2\approx 2.73$ và $x_3\approx 2.81$

 

Khi đó $x_1>x_3 \Rightarrow x_2=f(x_1)<f(x_3)=x_4 \Rightarrow x_3=f(x_2)>f(x_4)=x_5$

 

Bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh được $(x_{2n+1})$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi $1+\sqrt{3}$

 

$(x_{2n})$ là dãy tăng và bị chặn trên bởi $\sqrt{3}+\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}}$

 

Khi đó giới hạn của dãy $(x_{2n+1})$, $(x_{2n})$ tồn tại, đặt $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{2n+1}=a$ và $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{2n}=b$

 

Từ đó ta tìm nghiệm của hệ $$\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{3}+\frac{a}{\sqrt{a^2-1}}\\ b=\sqrt{3}+\frac{b}{\sqrt{b^2-1}}\end{matrix}\right.$$  với $a\geq 1+\sqrt{3}$ và $1+\sqrt{3}<b\leq \sqrt{3}+\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}}$

 

Hệ có nghiệm $a=b=\frac{1}{2}\left ( \sqrt{3}+\sqrt{15} \right )$

 

Suy ra $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\frac{1}{2}\left ( \sqrt{3}+\sqrt{15} \right )$

 

Anh cho em hỏi làm sao để tìm được giá trị chặn để chứng minh, ví dụ trong bài này dãy con bị chặn trên bởi số khá là lẻ.

[perfectstrong]

Anh cho em hỏi làm sao để tìm được giá trị chặn để chứng minh, ví dụ trong bài này dãy con bị chặn trên bởi số khá là lẻ.

Đó sẽ là điểm bất động của hàm $g(x)=f(f(x))$. Điểm bất động của một hàm $F$ là điểm $x_0$ sao cho $F(x_0)=x_0$.

[netcomath]

Tìm điểm bất động của hàm như thế nào ạ 

[chanhquocnghiem]

Tìm điểm bất động của hàm như thế nào ạ 

Giá trị chặn dưới của $\left ( x_{2n+1} \right )$ là $m=1+\sqrt{3}$

$\Rightarrow$ giá trị chặn trên của $\left ( x_{2n} \right )$ là $M=\frac{m}{\sqrt{m^2-1}}+\sqrt{3}=\frac{1+\sqrt3}{\sqrt{3+2\sqrt3}}+\sqrt3=\sqrt{\frac{4+2\sqrt3}{3+2\sqrt3}}+\sqrt3$.