Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển Thanh Hóa 2021-2022


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 21-08-2021 - 17:04

Đề thi chọn đội tuyển Thanh Hóa 2021-2022

Bài 1. (5đ) Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} a_1=4\\3a_{n+1}=(a_n+1)^3-5 \end{matrix} \right. ,\forall n \in \mathbb{N}^*$.

  1. Chứng minh $a_n$ nguyên dương $\forall n \in \mathbb{N}^*$
  2. Đặt $u_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{a_k-1}{a_k^2+a_k+1}$. Tính giới hạn dãy $(u_n)$ khi n dần tới dương vô cực

Bài 2. (5đ) Cho tam giác $ABC$ nhọn có các đường cao là $AD, BE, CF (D \in BC, E \in CA, F \in AD)$. Gọi $\omega_B, \omega_C$ lần lượt là các đường tròn nội tiếp các tam giác $BDF$ và $CDE$; gọi $M$ là tiếp điểm của $\omega_B$ với $DF$ và $N$ là tiếp điểm của $\omega_C$ với $DE$. Đường thẳng $MN$ cắt lại $\omega_B, \omega_C$ lần lượt tại $P$ khác $M$ và $Q$ khác $N$. Chứng minh $MP=NQ$.

 

Bài 3. (5đ) Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ thỏa mãn 

$$f(x+f(xy))+y=f(x)f(y)+1, \forall x \in \mathbb{R} ^+, \forall y \in \mathbb{R} ^+.$$

 

Bài 4. (5đ)

  1. Cho $m, n$ là các số tự nhiên thòa $n \le m-1$. Tìm tất cả các cặp $(x,y)$ nguyên dương thỏa $x^2-(m-2)xy+y^2+n=0$
  2. Chứng minh $a^2+\frac{4a^2+b-1}{b}$ không thể là SCP với mọi bộ số nguyên dương $(a,b)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 21-08-2021 - 17:06


#2 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1563 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 29-08-2021 - 11:01

Làm thử bài 1 hen.

 

Câu a: ta sẽ chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $a_n$ là số nguyên dương và $a_n   \equiv 1  \ \ ( \mod 3)$

 

Rõ ràng khẳng định đúng với $ n =1$, giả sử khẳng định đúng đến $n$, tức là $ a_n = 3k+1$ với $k$ là số nguyên không âm, khi đó :

 

$ 3a_{n+1} = (3k+2)^3 -5 = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 3$ suy ra $ a_{n+1} = 9k^3 + 18k^2 +12k+1$ , từ đây dễ thấy $ a_{n+1} $ là số nguyên dương và còn có $ a_{n+1}   \equiv 1  \ \ ( \mod 3)$ . Khẳng định được chứng minh hoàn toàn theo nguyên lý quy nạp toán học.

 

Câu b: Từ gợi ý ban đầu từ câu a, ta thử cách đặt dãy phụ: $ a_n = 3b_n+1$ với $b_n$ là dãy số nguyên không âm

 

Rõ ràng: $b_1 =1$, và $ 9b_{n+1} +3 = (3b_n +2)^3 -5$ với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ 

 

$ \implies \ \ 9b_{n+1} +3 = 27b^3_n + 54b^2_n + 36b_n +3 $

 

$ \implies \ \ b_{n+1} = 3b^3_n + 6b^2_n + 4b_n = b_n (3b^2_n + 3b_n +1) + (3b^2_n +3b_n+1) -1 $

 

$ \implies \ \ b_{n+1} +1 = (b_n +1)(3b^2_n + 3b_n +1)$

 

$ \implies \frac{1}{3b^2_n + 3b_n +1} = \frac{b_n +1}{b_{n+1} +1}$

 

Trong đó, ta dễ dàng kiểm tra $ \frac{a_k -1}{ a^2_k +a_k +1} = \frac{b_k}{3b^2_k+ 3b_k +1}$

 

Suy ra: $ \frac{a_k -1}{ a^2_k +a_k +1} = \frac{b_k (b_k +1)}{b_{k+1} +1}$

 

Tới đây suy nghĩ tiếp hen, chưa hoàn tất.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 29-08-2021 - 11:22

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#3 Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 29-08-2021 - 12:51

Bài 1b:

$3a_{n+1}=(a_n+1)^3-5=a_n^3+3a_n^2+3a_n+1-5=(a_n^3-1)+3(a_n^2+a_n+1)-6$

$=(a_n^2+a_n+1)(a_n+2)-6$

 

$\Rightarrow 3(a_{n+1}+2)=(a_n^2+a_n+1)(a_n+2)$

 

$\Rightarrow \frac{3}{(a_n^2+a_n+1)(a_n+2)}=\frac{1}{a_{n+1}+2}$

 

$\Rightarrow \frac{(a_n^2+a_n+1)-(a_n^2+a_n-2))}{(a_n^2+a_n+1)(a_n+2)}=\frac{1}{a_{n+1}+ 2}$

 

$\Rightarrow \frac{1}{a_n+2}-\frac{a_n-1}{a_n^2+a_n+1}=\frac{1}{a_{n+1}+2}$

 

$\Rightarrow \frac{a_n-1}{a_n^2+a_n+1}=\frac{1}{a_n+2}-\frac{1}{a_{n+1}+2}$

 

$\Rightarrow u_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{a_k-1}{a_k^2+a_k+1}=\frac{1}{a_1+2}-\frac{1}{a_{n+1}+2}$

 

Đặt $f(x)=((x+1)^3-5)/3$ có $f'(x) \geq 0$ và $a_1<a_2$

$\Rightarrow$ a là dãy tăng

 

Giả sử dãy a có giới hạn hữu hạn, đặt nó là L

Có $3L=(L+1)^3-5 \Leftrightarrow L=1$ v $L=-2$ (sai vì a là dãy tăng và $a_1=4$)

$\Rightarrow lim a = \infty $

 

$\Rightarrow lim u = \frac{1}{a_1+2} = \frac{1}{6}$

 

Tưởng topic bị bỏ rơi, ai làm bài hình đi   :luoi:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 29-08-2021 - 12:57


#4 Hoang72

Hoang72

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 247 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 29-08-2021 - 16:49

Bài 2:

Gọi $W_b$, $W_c$ lần lượt là tâm của các đường tròn $\omega_b$, $\omega_c$.

Ta có $MP=2W_bM.cos\widehat{W_BMP}=2W_bM.sin\widehat{DMN};NQ=2W_cN.sin\widehat{DNM}\Rightarrow \frac{MP}{NQ}=\frac{W_bM}{W_cN}.\frac{sin\widehat{DMN}}{sin\widehat{DNM}}=\frac{W_bM}{W_cN}.\frac{DN}{DM}=1$. (Do $\Delta DMW_b\sim\Delta DNW_c$)

Vậy $MP=NQ$. (đpcm)

Hình gửi kèm

  • Untitled.png


#5 Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 29-08-2021 - 19:29

Bài 2:

Gọi $W_b$, $W_c$ lần lượt là tâm của các đường tròn $\omega_b$, $\omega_c$.

Ta có $MP=2W_bM.cos\widehat{W_BMP}=2W_bM.sin\widehat{DMN};NQ=2W_cN.sin\widehat{DNM}\Rightarrow \frac{MP}{NQ}=\frac{W_bM}{W_cN}.\frac{sin\widehat{DMN}}{sin\widehat{DNM}}=\frac{W_bM}{W_cN}.\frac{DN}{DM}=1$. (Do $\Delta DMW_b\sim\Delta DNW_c$)

Vậy $MP=NQ$. (đpcm)

 

Lời giải của Hoang72 lúc nào cũng làm tui shock thiệt :icon1:

 

Vậy là đề chỉ cần là: "Cho tam giác $ABC, D \in BC, (ADB)$ cắt $AC$ tại $E$, $(ADC)$ cắt $AB$ tại $F$. $M, N$ là tiếp điểm của đt nội tiếp tam giác $FBD, ECD$ với $FM, ED$. $MN$ cắt 2 đt đó tại điểm thứ 2 $P, Q$. Chứng minh $MP=NQ$"


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 29-08-2021 - 19:30


#6 netcomath

netcomath

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết

Đã gửi 29-08-2021 - 20:13

Ai giải nốt câu số em tham khảo với ạ :icon6:



#7 Hoang72

Hoang72

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 247 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 29-08-2021 - 21:40

Vậy là đề chỉ cần là: "Cho tam giác $ABC, D \in BC, (ADB)$ cắt $AC$ tại $E$, $(ADC)$ cắt $AB$ tại $F$. $M, N$ là tiếp điểm của đt nội tiếp tam giác $FBD, ECD$ với $FM, ED$. $MN$ cắt 2 đt đó tại điểm thứ 2 $P, Q$. Chứng minh $MP=NQ$"

Em nghĩ chỉ cần cho $D\in BC,E\in CA,F\in AB$ thoả mãn $\angle EDC=\angle FDB$ là được :)



#8 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Thích phương trình hàm và ghéc những thằng đòi học sớm 5p

Đã gửi 04-09-2021 - 08:59

 

Đề thi chọn đội tuyển Thanh Hóa 2021-2022

Bài 1. (5đ) Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} a_1=4\\3a_{n+1}=(a_n+1)^3-5 \end{matrix} \right. ,\forall n \in \mathbb{N}^*$.

  1. Chứng minh $a_n$ nguyên dương $\forall n \in \mathbb{N}^*$
  2. Đặt $u_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{a_k-1}{a_k^2+a_k+1}$. Tính giới hạn dãy $(u_n)$ khi n dần tới dương vô cực

Bài 2. (5đ) Cho tam giác $ABC$ nhọn có các đường cao là $AD, BE, CF (D \in BC, E \in CA, F \in AD)$. Gọi $\omega_B, \omega_C$ lần lượt là các đường tròn nội tiếp các tam giác $BDF$ và $CDE$; gọi $M$ là tiếp điểm của $\omega_B$ với $DF$ và $N$ là tiếp điểm của $\omega_C$ với $DE$. Đường thẳng $MN$ cắt lại $\omega_B, \omega_C$ lần lượt tại $P$ khác $M$ và $Q$ khác $N$. Chứng minh $MP=NQ$.

 

Bài 3. (5đ) Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ thỏa mãn 

$$f(x+f(xy))+y=f(x)f(y)+1, \forall x \in \mathbb{R} ^+, \forall y \in \mathbb{R} ^+.$$

 

Bài 4. (5đ)

  1. Cho $m, n$ là các số tự nhiên thòa $n \le m-1$. Tìm tất cả các cặp $(x,y)$ nguyên dương thỏa $x^2-(m-2)xy+y^2+n=0$
  2. Chứng minh $a^2+\frac{4a^2+b-1}{b}$ không thể là SCP với mọi bộ số nguyên dương $(a,b)$

 

 

Hơi bị căng khi đề Thanh Hóa lại ra bài phương trình hàm nằm trong đề IMO Shortlist :') . Thôi thì đây là một hướng giải để mọi người có thể đi theo. Mình không gửi lời giải vì nguồn đã có các bạn có thể tìm: 

  • $f$ đơn ánh
  • $f$ là hàm tăng
  • $f$ là hàm tuyến tính
  • $f(x)=x+1,\forall x\in\mathbb R^+$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh