Đề thi chọn đội tuyển Thanh Hóa 2021-2022
Bài 1. (5đ) Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} a_1=4\\3a_{n+1}=(a_n+1)^3-5 \end{matrix} \right. ,\forall n \in \mathbb{N}^*$.
- Chứng minh $a_n$ nguyên dương $\forall n \in \mathbb{N}^*$
- Đặt $u_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{a_k-1}{a_k^2+a_k+1}$. Tính giới hạn dãy $(u_n)$ khi n dần tới dương vô cực
Bài 2. (5đ) Cho tam giác $ABC$ nhọn có các đường cao là $AD, BE, CF (D \in BC, E \in CA, F \in AD)$. Gọi $\omega_B, \omega_C$ lần lượt là các đường tròn nội tiếp các tam giác $BDF$ và $CDE$; gọi $M$ là tiếp điểm của $\omega_B$ với $DF$ và $N$ là tiếp điểm của $\omega_C$ với $DE$. Đường thẳng $MN$ cắt lại $\omega_B, \omega_C$ lần lượt tại $P$ khác $M$ và $Q$ khác $N$. Chứng minh $MP=NQ$.
Bài 3. (5đ) Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ thỏa mãn
$$f(x+f(xy))+y=f(x)f(y)+1, \forall x \in \mathbb{R} ^+, \forall y \in \mathbb{R} ^+.$$
Bài 4. (5đ)
- Cho $m, n$ là các số tự nhiên thòa $n \le m-1$. Tìm tất cả các cặp $(x,y)$ nguyên dương thỏa $x^2-(m-2)xy+y^2+n=0$
- Chứng minh $a^2+\frac{4a^2+b-1}{b}$ không thể là SCP với mọi bộ số nguyên dương $(a,b)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 21-08-2021 - 17:06