Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ $\forall x,y$ thỏa mãn: $f(2f(-x)+y) + 3x = f(x+f(y))$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
bimcaucau

bimcaucau

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

Tìm tất cả hàm số  $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ $\forall x,y$ thỏa mãn:

$f(2f(-x)+y) + 3x = f(x+f(y))$



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Cho $y=-2f(-x)$ ta có $f(x+f(-2f(-x)))=3x,\forall x\in\mathbb R$.

Từ đó $f$ là hàm toàn ánh.

Do đó tồn tại a sao cho $f(a)=0$. Thay x bởi -a ta có $f(y)-3a=f(f(y)-a)$. Mà $f$ toàn ánh nên $f(x)=x+c$ với c là hằng số. Thay lại pt hàm ban đầu ta có c = 0.



#3
Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

ta có $f(y)-3a=f(f(y)-a)$. Mà $f$ toàn ánh nên $f(x)=x+c$ với c là hằng số

Cái này là jz Hoàng @@, nghe đúng mà không biết tại sao nữa



#4
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Cái này là jz Hoàng @@, nghe đúng mà không biết tại sao nữa

Em nghĩ $f(f(y)-a)=(f(y)-a)-2a$ mà $f(y)-a$ nhận mọi giá trị trên $\mathbb{R}$ nên $f(x)=x+c$.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh