Chủ đề này có 4 trả lời

[phuc_90]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

 

$a\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )\left ( a-2b \right )\left ( a-2c \right )+b\left ( b-c \right )\left ( b-a \right )\left ( b-2c \right )\left ( b-2a \right )+c\left ( c-a \right )\left ( c-b \right )\left ( c-2a \right )\left ( c-2b \right ) \geq  0$

[PDF]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

 

$a\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )\left ( a-2b \right )\left ( a-2c \right )+b\left ( b-c \right )\left ( b-a \right )\left ( b-2c \right )\left ( b-2a \right )+c\left ( c-a \right )\left ( c-b \right )\left ( c-2a \right )\left ( c-2b \right ) \geq  0$

Chuẩn hóa $a+b+c=3$. Đặt $bc+ca+ab=3-3t^{2}$ với $t\geq 0$. Khi đó $0\leq r=abc\leq (1+2t)(1-t)^{2}$.

Bất đẳng thức tương đương $$(144t^{2}-27)r+27(2t-1)^{2}(2t+1)^{2}\geq 0.$$

Nếu $144t^{2}\geq 27$, bất đẳng thức là hiển nhiên. Xét $144t^{2}<27$.

Khi đó $$VT\geq (144t^{2}-27)(1+2t)(1-t)^{2}+27(2t-1)^{2}(2t+1)^{2}=9t^{2}(2t+1)(4t-1)^{2}\geq 0.$$

Vậy bất đẳng thức đề cho là đúng.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=0,b=c$ và các hoán vị, hoặc $a=2b=2c$ và các hoán vị. $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 23-08-2021 - 17:34

[phuc_90]

Chuẩn hóa $a+b+c=3$. Đặt $bc+ca+ab=3-3t^{2}$. Khi đó $0 \leq r=$$abc\leq (1+2t)(1-t)^{2}$.

Bất đẳng thức tương đương $$(144t^{2}-27)r+27(2t-1)^{2}(2t+1)^{2}\geq 0.$$

Nếu $144t^{2}\geq 27$, bất đẳng thức là hiển nhiên. Xét $144t^{2}<27$.

Khi đó $$VT\geq (144t^{2}-27)(1+2t)(1-t)^{2}+27(2t-1)^{2}(2t+1)^{2}=9t^{2}(2t+1)(4t-1)^{2}\geq 0.$$

Vậy bất đẳng thức đề cho là đúng.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=0,b=c$ và các hoán vị, hoặc $a=2b=2c$ và các hoán vị. $\square$

Cái chỗ màu xanh làm rõ hơn được không bạn ?

[PDF]

Cái chỗ màu xanh làm rõ hơn được không bạn ?

Hãy chứng minh $1-2t\leq a,b,c\leq 1+2t$.

[tuannguyenhue]

Cái chỗ màu xanh làm rõ hơn được không bạn ?

Ta có $0\leq (a-b)^{2}(b-c)^{2}(c-a)^{2}\Leftrightarrow (abc-(1-2t)(1+t)^{2})(abc-(1+2t)(1-2t)^{2})\leq 0$

Hơn nữa $(1-t)^{2}(1+2t)-(1+t)^{2}(1-2t)=4t^{3}\geq 0$

Nên $(1+t)^{2}(1-2t)\leq abc\leq (1-t)^{2}(1+2t)$