Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng đường thẳng $XY$ luôn đi qua điểm cố định khi $E, F$ thay đổi

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ không cân. Gọi $E, F$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $AC, AB$ sao cho $EF$ song song $BC$. Các tiếp tuyến tại $E, F$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác  $AEF$ cắt đường thẳng $BC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Giả sử đường thẳng $BE$ cắt đường thẳng $FN$ tại $K$ và đường thẳng $CF$ cắt đường thẳng $EM$ tại $L$.

  1. Cm $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$
  2. Giả sử đường thẳng $BE$ cắt đường thẳng $CF$ tại $X$ và đường thẳng $EN$ cắt đường thẳng $FM$ tại $Y$. Chứng minh rằng đường thẳng $XY$ luôn đi qua điểm cố định khi $E, F$ thay đổi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 26-08-2021 - 12:54


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

a) Kẻ $KK_1,KK_2\perp AB,AC$.

Ta có $\frac{KK_1}{KK_2}=\frac{KB.sinABE}{KE.sinAEB}=\frac{KB}{KE}.\frac{AE}{AB}=\frac{BN}{EF}.\frac{AE}{AB}$.

Tương tự nếu kẻ $LL_1,LL_2\perp AB,AC$ thì $\frac{LL_1}{LL_2}=\frac{EF}{CM}.\frac{AC}{AF}\Rightarrow \frac{KK_1}{KK_2}.\frac{LL_1}{LL_2}=\frac{BN}{CM}.\left(\frac{AC}{AB}\right)^2$.

Lại có $\frac{BN}{ME}=\frac{NF}{CM}=\frac{BF}{CE}\Rightarrow \left(\frac{BF}{CE}\right)^2=\frac{BN}{CM}\Rightarrow \frac{BN}{CM}.\left(\frac{AC}{AB}\right)^2=1\Rightarrow \frac{KK_1}{KK_2}=\frac{LL_2}{LL_1}\Rightarrow \widehat{KAB}=\widehat{LAC}$.

b) XY cắt BC tại I.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác FMC với cát tuyến X, Y, I ta có $\frac{XF}{XC}.\frac{IC}{IM}.\frac{YM}{YF}=1$.

Tương tự $\frac{XE}{XB}.\frac{IB}{IN}.\frac{YN}{YE}=1$.

Mà $\frac{XF}{XC}=\frac{XE}{XB};\frac{YM}{YF}=\frac{YN}{YE}$ nên $\frac{IC}{IM}=\frac{IB}{IN}$. Suy ra $\frac{IB}{IC}=\frac{IN}{IB}=\frac{BN}{CM}=\frac{AB^2}{AC^2}$. Suy ra AI là đường đối trung của tam giác ABC.

Vậy XY đi qua I cố định.

 

Hình gửi kèm

  • Untitled.png





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh