Tìm tất cả các hàm số f: R -> R sao cho $f(-5x+4)=3f(x)-8,\forall x\in \mathbb{R}$
Tìm tất cả các hàm số f: R -> R sao cho $f(-5x+4)=3f(x)-8,\forall x\in \mathbb{R}$
#1
Đã gửi 27-08-2021 - 09:50
#2
Đã gửi 31-08-2021 - 09:41
Tìm tất cả các hàm số f: R -> R sao cho $f(-5x+4)=3f(x)-8,\forall x\in \mathbb{R}$
Nhận xét khi $x=\frac{2}{3}$ thì $f(x)=f(4-5x)=f\left ( \frac{2}{3} \right )\Rightarrow f\left ( \frac{2}{3} \right )=3f\left ( \frac{2}{3} \right )-8\Rightarrow f\left ( \frac{2}{3} \right )=4$
+ Dễ thấy rằng hàm $f(x)=4$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
+ Giả sử rằng $f\left ( \frac{2}{3}+a \right )=4+b$ (với $a,b$ là các hằng số thực khác $0$)
$\Rightarrow f\left ( 4-5\left ( \frac{2}{3}+a \right ) \right )=f\left ( \frac{2}{3}-5a \right )=3f\left ( \frac{2}{3}+a \right )-8=3(4+b)-8=4+3b$
$\Rightarrow f\left ( 4-5\left ( \frac{2}{3}-5a \right ) \right )=f\left ( \frac{2}{3}+5^2a \right )=3f\left ( \frac{2}{3}-5a \right )-8=3(4+3b)-8=4+3^2b$
$\Rightarrow f\left ( 4-5\left ( \frac{2}{3}+5^2a \right ) \right )=f\left ( \frac{2}{3}-5^3a \right )=3f\left ( \frac{2}{3}+5^2a \right )-8=3(4+3^2b)-8=4+3^3b$
......................
......................
$\Rightarrow \log_3\frac{y-4}{b}=\log_5\left | \frac{x-\frac{2}{3}}{a} \right |$
$\Rightarrow y=\left\{\begin{matrix}4\ if\ x=\frac{2}{3}\\3^{\log_5\left | \frac{3x-2}{3a} \right |}.b+4\ if\ x\neq \frac{2}{3} \end{matrix}\right.$
Vậy các hàm số thỏa mãn điều kiện đề bài có dạng :
1) $y=4$
2) $y=\left\{\begin{matrix}4\ if\ x=\frac{2}{3}\\3^{\log_5\left | \frac{3x-2}{3a} \right |}.b+4\ if\ x\neq \frac{2}{3} \end{matrix}\right.$ ($a,b$ là hằng số thực tùy ý và khác $0$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 31-08-2021 - 09:42
- Hoang72 yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh