Mong mọi người giúp đỡ ạ :3.
Trong mặt phẳng cho n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các đường thẳng nối hai điểm bất kì, không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc vuông góc. Qua mỗi diểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi 2 trong n - 1 điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau là bao nhiêu?
A. $2C_{\frac{n(n-1)(n-2)}{2}}^2 - [n(C_{n-1}^2 - 1) + 5C_n^3]$
B. $C_{\frac{n(n-1)(n-2)}{2}}^2 - 2[n(C_{n-1}^2 - 1) + 5C_n^3]$
C. $3C_{\frac{n(n-1)(n-2)}{2}}^2 - 2[n(C_{n-1}^2 - 1) + 5C_n^3]$
D. $C_{\frac{n(n-1)(n-2)}{2}}^2 - [n(C_{n-1}^2 - 1) + 5C_n^3]$
Xét $4$ điểm $A,B,C,D$ ($n=4$)
Ta ký hiệu đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $BC$ là $a_{BC}$ (các đường khác ký hiệu tương tự).
Cần đếm số giao điểm của $nC_{n-1}^2=12$ đường thẳng sau đây :
$a_{BC},b_{AC},c_{AB}$
$a_{BD},b_{AD},d_{AB}$
$a_{CD},c_{AD},d_{AC}$
$b_{CD},c_{BD},d_{BC}$
Giả sử $12$ đường trên đều cắt nhau tại các điểm phân biệt, số giao điểm nhiều nhất có thể là $C_{12}^2=66$
Tuy nhiên, các bộ ba đường thẳng cùng hàng chỉ có $1$, chứ không phải $3$ giao điểm, do đó phải trừ đi $4.2=8$ giao điểm
Các bộ ba dạng $(a_{BC},a_{BD},a_{CD})$ (có 4 bộ như vậy) cũng chỉ có $1$ chứ không phải $3$ giao điểm, nên phải trừ thêm $4.2=8$ giao điểm
Các cặp dạng $(a_{BC},d_{BC})$ (có 6 cặp như vậy) không có giao điểm, nên phải trừ thêm $6$ giao điểm.
Vậy nếu $n=4$ thì có $66-8-8-6=44$ giao điểm.
Theo các đáp án $A,B,C,D$ thì lần lượt là $104,10,142,38\rightarrow$ cả $4$ đáp án đều sai.