Đến nội dung

Hình ảnh

$f(xf(y)) + f(yf(z))+ f(zf (x)) = xy + yz + zx\, \forall x, y, z \in \mathbb{R}^+$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
LeeJ

LeeJ

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ thỏa mãn: $f(xf(y)) + f(yf(z))+ f(zf (x)) = xy + yz + zx\, \forall x, y, z \in \mathbb{R}^+$.

Mng giúp e với ạ, e loay hoay mãi không ra 😢


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 29-08-2021 - 15:13
Tiêu đề + LaTeX


#2
Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

Thay $x, y$ bởi $0: 2f(0)+f(zf(0))=0$, đặt $a=f(0)$

Nếu $a != 0$ thay z bởi $\frac{z}{a}: f(z)=-2a$ (không thỏa hàm số)

$\Rightarrow a=0$

Thay $y$ bởi 0 được $f(z(f(x)))=zx (1)$

Thay z bởi 1 vào (1) dễ thấy $f$ đơn ánh

Thay z bởi $f(x),  x$ bởi 1 vào (1) được $f(f(x)*f(1))=f(x)$

$\Rightarrow f(x)*f(1)=x$

Thay vào $x, y, z$ bởi 1 đề bài được $f(1)^2=1$

Vậy $f(x)=x$ vì $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$

 

xin lỗi nha nãy vội quá bị ngu nên sai mất


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 29-08-2021 - 10:50


#3
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Thay $x=y=z$ ta có $f(xf(x))=x^2,\forall x\in\mathbb R^+$. (1)

Thay $y=z$ ta có $f(xf(y))+f(yf(y))+f(yf(x))=2xy+y^2\Rightarrow f(xf(y))+f(yf(x))=2xy,\forall x,y\in\mathbb R^+$. (2)

Thay $x=1$ vào (1) ta có $f(f(1))=1$.

Thay $x=f(1)$ vào (1) ta có $f(1)^2=f(f(1)f(f(1))=f(f(1))=1$. Suy ra $f(1)=1$.

Thay  $y=1$ vào (2) ta có $f(x)+f(f(x))=2x$ hay $f(x)+f(f(x))-2x=0,\forall x\in\mathbb R^+$.

Với mỗi $x\in\mathbb R^+$, xét dãy $(u_n)$ có $u_1=x;u_n=f(u_{n-1}),\forall n\in\mathbb N^*$.

Khi đó ta có $u_n+u_{n+1}-2u_{n-1}=0,\forall n\in\mathbb N^*$.

Từ đó $u_n=a+b(-2)^n$ với $a=\frac{2u_0+u_1}{3}=\frac{2x+f(x)}{3};b=\frac{u_0-u_1}{3}=\frac{x-f(x)}{3}$.

+) Nếu $b>0$, chọn k lẻ sao cho $a+b(-2)^k<0\Rightarrow u_k<0$, vô lí.

+) Nếu $b<0$, chọn k chẵn sao cho $a+b(-2)^k<0\Rightarrow u_k<0$, vô lí.

Do đó với mọi $x\in\mathbb R^+$, ta có $b=0$ nên $f(x)=x,\forall x\in\mathbb R^+$.

Vậy ...



#4
Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

Thay $y=z$ ta có $f(xf(y))+f(yf(y))+f(yf(x))=2xy+y^2\Rightarrow f(xf(y))+f(yf(x))=2xy,\forall x,y\in\mathbb R^+$. (2)

 

Phải chứng minh $f(yf(x))=y^2$ nữa, mà được cái này là thành bài chị lun

Khúc dưới ý tưởng hay á



#5
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Phải chứng minh $f(yf(x))=y^2$ nữa, mà được cái này là thành bài chị lun

Khúc dưới ý tưởng hay á

Em nghĩ ở trên thay $x=y=z$ thì có $f(yf(y))=y^2$ rồi ạ



#6
Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

Em nghĩ ở trên thay $x=y=z$ thì có $f(yf(y))=y^2$ rồi ạ

 bị lộn hả, $f(yf(x))$ mà



#7
netcomath

netcomath

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết

Thay $x, y$ bởi $0: 2f(0)+f(zf(0))=0$, đặt $a=f(0)$

Nếu $a != 0$ thay z bởi $\frac{z}{a}: f(z)=-2a$ (không thỏa hàm số)

$\Rightarrow a=0$

Thay $y$ bởi 0 được $f(z(f(x)))=zx (1)$

Thay z bởi 1 vào (1) dễ thấy $f$ đơn ánh

Thay z bởi $f(x),  x$ bởi 1 vào (1) được $f(f(x)*f(1))=f(x)$

$\Rightarrow f(x)*f(1)=x$

Thay vào $x, y, z$ bởi 1 đề bài được $f(1)^2=1$

Vậy $f(x)=x$ vì $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$

 

xin lỗi nha nãy vội quá bị ngu nên sai mất

 

x,y,z là thực dương thì làm sao thay x,y bởi 0 được ạ



#8
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

 bị lộn hả, $f(yf(x))$ mà

Từ $f(xf(y))+f(yf(y))+f(yf(x))=2xy+y^2$ mà $f(yf(y))=y^2$ thì $f(xf(y))+f(yf(x))=2xy$ mà nhỉ?



#9
Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

Từ $f(xf(y))+f(yf(y))+f(yf(x))=2xy+y^2$ mà $f(yf(y))=y^2$ thì $f(xf(y))+f(yf(x))=2xy$ mà nhỉ?

Chết rồi mắt với chả mũi, xin lỗi em nhiều



#10
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Cách em Hoàng rất hay vì đã đưa được về dạng phương trình tuyến tính sai phân cấp 2. Minh đóng góp thêm cách 2 theo đánh giá bất đẳng thức: 

 

Cách 2: Vì $f:\mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ nên ta sẽ có $f(xf(y))< f(xf(y))+f(yf(z))+f(zf(x))=xy+yz+zx$. Ta thấy nếu chọn $z$ đủ bé thì ta sẽ được $f(xf(y))\leq xy$.

Tương tự cho $f(yf(z)) $ và $f(zf(x))$ ta được $f(xf(y))+f(yf(z))+f(zf(x))\leq xy+yz+zx$.

So sánh với phương trình hàm ban đầu ta được dấu bằng xảy ra là nghiệm của phương trình hàm, tức là $f(xf(y))=xy$. 

Thay $x$ bởi $\frac{x}{f(1)}$ và $y=1$ ta được $f(x)= \frac{x}{f(1)}$, hay $f(x)=cx$ với $c$ là hằng số bất kì.

Thay $f(x)$ vào phương trình hàm ban đầu ta được $f(x)=x, \forall x\in\Bbb R^+$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 31-08-2021 - 09:32


#11
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Thay $x, y$ bởi $0: 2f(0)+f(zf(0))=0$, đặt $a=f(0)$

Nếu $a != 0$ thay z bởi $\frac{z}{a}: f(z)=-2a$ (không thỏa hàm số)

$\Rightarrow a=0$

Thay $y$ bởi 0 được $f(z(f(x)))=zx (1)$

Thay z bởi 1 vào (1) dễ thấy $f$ đơn ánh

Thay z bởi $f(x),  x$ bởi 1 vào (1) được $f(f(x)*f(1))=f(x)$

$\Rightarrow f(x)*f(1)=x$

Thay vào $x, y, z$ bởi 1 đề bài được $f(1)^2=1$

Vậy $f(x)=x$ vì $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$

 

Một số kinh nghiệm khi trình bày phương trình có thể học hỏi: 

1. Khi sử dụng phương pháp thế, lưu ý ta nên ghi ví dụ như "thay $y=1$" thay vì ghi "thay y bởi 1" vì đang trong giai đoạn thay các giá trị đặc biệt, cụ thể là thay hằng số. Từ "bởi" chỉ được sử dụng trong trường hợp thay các giá trị là biểu thức chứa biến (luôn thay đổi theo $x$), ví dụ "thay $x$ bởi $f(x)$".

2. Xem kĩ tập giá trị trước khi thay, đừng nhầm giữa tập giá trị và tập xác đinh. Ví dụ, đề cho tập xác định là $f:\mathbb R \to \mathbb R$ nhưng lại ghi tập giá trị là $\forall x\in\mathbb R^+$ thì cũng đừng bị đánh lừa thay $x=0$ nhé, cái này nhiều người bị lắm  :lol:

3. Chú ý thêm khi sử dụng phép thế phân thức, chú ý chia trường hợp cho mẫu bằng 0 hoặc khác 0 trước (sau) phép thế (cái này chị làm rất đúng).  

-James-  ~O)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh