Chủ đề này có 2 trả lời

[youknower]

Cho $A$ là điểm cách đều $2$ đường thẳng song song $d$ và $d’. B$ di động trên $d, C$ di động trên $d’$ sao cho góc $BAC$ không đổi. Lấy $E, F$ sao cho $BE=BA, CF=CA$ và $AE$ vuông góc $AC, AF$ vuông góc $AB$.
Chứng minh tâm $I$ của $(AEF)$ thuộc 1 đường cố định và $(IEF)$ tiếp xúc 1 đường cố định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youknower: 30-08-2021 - 12:29

[Serine]

$A_1, A_2$ đối xứng $A$ qua $d, d'$

$EA_1 \cap FA_2 =L$

 

Ta sẽ chứng minh $IEF$ tiếp xúc với đường tròn cố định Mixtilinear đối với đỉnh $T$ của $LEF $

Vậy cần chứng minh

• $IELF$ nội tiếp 
• $A$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $LEF$
• Tâm đường tròn Mixtilinear $T$ đối với đỉnh $L$ của $LEF$ cố định

$1)$

 

$LEI+LFI=(LEB+KEI)+(LFC+CFI)=(VAC+BEI)+(UAB+CFI)=(VAC+UAB)+(BEI+CFI)=(180-BAC)+(BAI+BIA)=180$

$\Rightarrow IELF$ nội tiếp

 

$2) $

 

$BC \cap AI = G$

Nếu $AEF < BAI $

Dễ chứng minh $BAI+IAC=AEF+AFE=BAC$ 

$\Rightarrow IAC<AFE$  và 4 góc đó $<90$ độ

 

Có $1=\frac{S_{BAG}}{S_{CAG}}=\frac{AB*\text{sin}BAG}{AC*\text{sin}CAG}=\frac{AE}{AF}*\frac{\text{sin}BAG}{\text{sin}CAG}$

 

$\Rightarrow \frac{\text{sin}BAG}{\text{sin}CAG}=\frac{AF}{AE}=\frac{\text{sin}AEF}{\text{sin}AFE}$

 

Mà $\frac{\text{sin}BAG}{\text{sin}AEF} > 1, \frac{\text{sin}CAG}{\text{sin}AFE} <1$

 

$\Rightarrow$ vô lý

Tương tự với $AEF>BAI$ suy ra vô lý nên $AEF=BAI$ hay $A$ là tâm nội tiếp $LEF$

 

$3)$

 

Vì $A_1T\bot AE$ và $A_1K\bot AE$ nên $A_1, T, K$ thẳng hàng

Có $AA_1K=AEK=EAB=90-BAC$ $\Rightarrow$ T cố định

 

Vậy $(IEF)$ tiếp xúc (T,TA) cố định

 

Lên Hạ sĩ rực rỡ lun

Có lời giải đẹp hơn cho em xin nha 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 31-08-2021 - 22:31

[youknower]

$A_1, A_2$ đối xứng $A$ qua $d, d'$

$EA_1 \cap FA_2 =L$

 

Ta sẽ chứng minh $IEF$ tiếp xúc với đường tròn cố định Mixtilinear đối với đỉnh $T$ của $LEF $

Vậy cần chứng minh

• $IELF$ nội tiếp 
• $A$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $LEF$
• Tâm đường tròn Mixtilinear $T$ đối với đỉnh $L$ của $LEF$ cố định

$1)$

 

$LEI+LFI=(LEB+KEI)+(LFC+CFI)=(VAC+BEI)+(UAB+CFI)=(VAC+UAB)+(BEI+CFI)=(180-BAC)+(BAI+BIA)=180$

$\Rightarrow IELF$ nội tiếp

 

$2) $

 

$BC \cap AI = G$

Nếu $AEF < BAI $

Dễ chứng minh $BAI+IAC=AEF+AFE=BAC$ 

$\Rightarrow IAC<AFE$  và 4 góc đó $<90$ độ

 

Có $1=\frac{S_{BAG}}{S_{CAG}}=\frac{AB*\text{sin}BAG}{AC*\text{sin}CAG}=\frac{AE}{AF}*\frac{\text{sin}BAG}{\text{sin}CAG}$

 

$\Rightarrow \frac{\text{sin}BAG}{\text{sin}CAG}=\frac{AF}{AE}=\frac{\text{sin}AEF}{\text{sin}AFE}$

 

Mà $\frac{\text{sin}BAG}{\text{sin}AEF} > 1, \frac{\text{sin}CAG}{\text{sin}AFE} <1$

 

$\Rightarrow$ vô lý

Tương tự với $AEF>BAI$ suy ra vô lý nên $AEF=BAI$ hay $A$ là tâm nội tiếp $LEF$

 

$3)$

 

Vì $A_1T\bot AE$ và $A_1K\bot AE$ nên $A_1, T, K$ thẳng hàng

Có $AA_1K=AEK=EAB=90-BAC$ $\Rightarrow$ T cố định

 

Vậy $(IEF)$ tiếp xúc (T,TA) cố định

 

Lên Hạ sĩ rực rỡ lun

Có lời giải đẹp hơn cho em xin nha 

Ý 2 có thể làm như sau: C/m giao điểm $S$ của $(B,BA)$ và $(C,CA)$ nhìn $A_{1}A_{2}$ 1 góc không đổi nên thuộc 1 đường tròn cố định $(T)$. Sau đó chứng minh $SIEF$ nội tiếp và $(IEF)$ tiếp xúc $(T)$ bằng cộng góc. Bài này khá khó ở tìm yếu tố cố định

 

Bài toán góc có thể phát biểu như sau: Cho tam giác $ABC$ có $M$ trên $BC. E$ thuộc $(ABM), F$ thuộc $(ACM)$ sao cho $ME$ tiếp xúc $(ACM), MF$ tiếp xúc $(ABM)$. Gọi $I$ là tâm $(MEF)$. Khi đó $(IEF)$ tiếp xúc $(O)$ khi và chỉ khi $M$ là trung điểm $BC$