Ngày 1
1. Cho 2 dãy số $(a_{n}), (b_{n})$ thỏa:
$a_{1} = 1, b_{1} = 0$
$a_{n+1}=2a_{n}b_{n}$
$b_{n+1}=b_{n}^{2} - a_{n}^{2}$
Tìm giới hạn của $(a_{n}+b_{n})$
2. Cho $2021$ thẻ có kích thước như nhau được đánh số từ $1$ đến $2021$. Hỏi có thể chia số thẻ này thành tối đa bao nhiêu phần để mỗi phần thỏa 2 điều kiện sau:
- Mỗi phần có tối thiểu 2 thẻ
- Mỗi phần có ít nhất 2 thẻ sao cho tổng hoặc hiệu của chúng là 1 số chính phương khác 1?
3. Tìm các bộ $(x,y,z)$ nguyên dương thỏa mãn: $x^{2} + 2y^{2} = 3z^{3}$
4. Cho $A, B, C$ là 3 điểm thuộc đường tròn $(O)$ tâm $O$ có $O, B, C$ cố định. $A$ đi động trên cung lớn $BC$ của $(O)$ sao cho $ABC$ là tam giác nhọn. $AD, BE, CF$ là 3 đường cao của tam giác $ ABC$. Đường thẳng qua $A$ song song với $EF$ cắt đường tròn đường kính $AB, AC$ tại $M,N$ khác A.
a. Chứng minh khi $A$ thay đổi, tồn tại $1$ điểm $T$ cố định luôn cách đều $M, N$.
b. Chứng minh tâm của đường tròn $(DMN)$ nằm trên 1 đường tròn cố định
P/s: Hôm qua mình vội quá đánh nhầm đề câu 3, 4b nhé ( đã chỉnh lại)
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Ngày 2
5. Cho ba số thực $x$, $y$, $z$ là 3 số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Chứng minh:
$T= \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}$ chỉ có thể nhận tối đa 2 giá trị nguyên. Tìm các bộ $(x,y,z)$ để $T$ đạt giá trị tại 2 giá trị nguyên này
6. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho $f(f(y)(x + 1)) = y(f(x) + 1) \quad \forall x,y \in \mathbb{R}$.
7. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ tâm $O. A$ đối xứng $A'$ qua đường thẳng $BC.$ Trên đường thẳng $AO$, lấy 2 điểm $A_{b}, A_{c}$ sao cho $BA_{b}=BA;CA_{c}=CA$. Kí hiệu tam giác $A'A_{b}A_{c}$ là $T_{a}$ có $O_{a}$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Xác định tương tự cho 2 tam giác $T_{b}, T_{c}$ và 2 điểm $O_{b}, O_{c}$
a. Chứng minh 3 đường thẳng $AO_{a} ,BO_{b}, CO_{c} $ đồng quy tại 1 điểm
b. Chứng minh 3 đường thẳng Euler của 3 tam giác $T_{a},T_{b}, T_{c}$ đồng quy tại 1 điểm
8. Cho $n$ là một số nguyên dương. Hãy tìm số nguyên $k$ nhỏ nhất với tính chất sau:
Với mọi số thực $a_1,...,a_d$ sao cho $a_1+a_2+...+a_d=n$ và $0\le a_i\le 1$ $(i=\overline{1,d})$, ta luôn có thể chia $d$ số trên thành $k$ nhóm, và tổng các số trong mỗi nhóm không lớn hơn $1$.