Chủ đề này có 8 trả lời

[minie123]

Tô ngẫu nhiên 8 đỉnh của một hình lập phương bằng 4 màu khác nhau và mỗi đỉnh chỉ tô

một màu. Tính xác suất để không có 2 đỉnh nào thuộc một cạnh của hình lập phương

được tô cùng một màu.

[chanhquocnghiem]

 

Tô ngẫu nhiên 8 đỉnh của một hình lập phương bằng 4 màu khác nhau và mỗi đỉnh chỉ tô

một màu. Tính xác suất để không có 2 đỉnh nào thuộc một cạnh của hình lập phương

được tô cùng một màu.

Gọi $M$ là biến cố "không có $2$ đỉnh nào thuộc cùng một cạnh được tô cùng màu".

Xét các trường hợp sau :

1) Có $1$ màu được tô cho $5$ đỉnh; ba màu kia, mỗi màu tô $1$ đỉnh (ký hiệu $5-1-1-1$)

    $n(M_1)=0$  ;  $n(\Omega _1)=4.3!.C_8^5=1344$

2) Có $1$ màu tô cho $4$ đỉnh; $1$ màu tô cho $2$ đỉnh; hai màu còn lại, mỗi màu $1$ đỉnh (ký hiệu $4-2-1-1$)

    $n(M_2)=12.2.C_4^2.2=288$

    ($12$ cách chọn bộ màu, ví dụ $4X-2Đ-1T-1V$, $4Đ-2X-1T-1V$, $4X-2T-1Đ-1V$, $4X-2V-1Đ-1T$, ...

     $2$ cách tô màu đầu tiên : $(A,C,B',D')$ hoặc $(B,D,A',C')$

     $C_4^2$ cách tô màu thứ hai.

     $2$ cách tô hai màu còn lại)

    $n(\Omega _2)=12C_8^4C_4^2C_2^1=10080$.

3) Có ... (ký hiệu $3-3-1-1$)

    $n(M_3)=C_4^2.2C_4^3.C_4^3.C_2^1=384$

    ($C_4^2$ cách chọn bộ màu, ví dụ $3X-3Đ-1T-1V$, $3X-3T-1Đ-1V$, $3X-3V-1Đ-1T$, ...

      $2C_4^3$ cách tô màu đầu tiên, $C_4^3$ cách tô màu thứ hai, $C_2^1$ cách tô hai màu còn lại)

    $n(\Omega _3)=C_4^2C_8^3C_5^3C_2^1=6720$.

4) Có ... (ký hiệu $3-2-2-1$)

    $n(M_4)=12.8.12=1152$  ;  $n(\Omega _4)=12C_8^3C_5^2C_3^2=20160$.

5) Có ... (ký hiệu $2-2-2-2$)

    $n(M_5)=\frac{96.8}{2}=384$  ;  $n(\Omega _5)=C_8^2C_6^2C_4^2=2520$.

 

Xác suất cần tìm là $\frac{n(M)}{n(\Omega )}=\frac{n(M_1)+n(M_2)+...+n(M_5)}{n(\Omega _1)+n(\Omega _2)+...+n(\Omega _5)}=\frac{92}{1701}$.

   

   
 

[hovanquan1810]

 ($C_{4}^{2}\textrm{}$ cách chọn bộ màu, ví dụ 3X−3Đ−1T−1V3X−3Đ−1T−1V, 3X−3T−1Đ−1V3X−3T−1Đ−1V, 3X−3V−1Đ−1T3X−3V−1Đ−1T, ...

ở đây nx tại sao k phải là 24 ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hovanquan1810: 02-12-2021 - 12:22

[hovanquan1810]

2) Có $1$ màu tô cho $4$ đỉnh; $1$ màu tô cho $2$ đỉnh; hai màu còn lại, mỗi màu $1$ đỉnh (ký hiệu $4-2-1-1$)

 

    $n(M_2)=12.2.C_4^2.2=288$

    ($12$ cách chọn bộ màu, ví dụ $4X-2Đ-1T-1V$, $4Đ-2X-1T-1V$, $4X-2T-1Đ-1V$, $4X-2V-1Đ-1T$, ...

 

cho em hỏi tại sao 12 cách chọn bộ màu mà k phải 24 (4!)? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hovanquan1810: 02-12-2021 - 12:13

[chanhquocnghiem]

 ($C_{4}^{2}\textrm{}$ cách chọn bộ màu, ví dụ 3X−3Đ−1T−1V, 3X−3T−1Đ−1V, 3X−3V−1Đ−1T, ...

ở đây nx tại sao k phải là 24 ạ?

Chỉ có $C_4^2=6$ cách chọn bộ màu thôi, đó là :

$3X-3Đ-1T-1V$

$3X-3T-1Đ-1V$

$3X-3V-1Đ-1T$

$3Đ-3T-1X-1V$

$3Đ-3V-1X-1T$

$3T-3V-1X-1Đ$

(Trong $4$ màu chọn ra $2$ màu xếp trước (không quan tâm đến thứ tự), $2$ màu còn lại xếp sau (cũng không quan tâm đến thứ tự). Mọi bộ màu khác đều trùng với một trong $6$ bộ kể trên)
 

[chanhquocnghiem]

cho em hỏi tại sao 12 cách chọn bộ màu mà k phải 24 (4!)? 

Có $1$ màu tô cho $4$ đỉnh; $1$ màu tô cho $2$ đỉnh; hai màu còn lại mỗi màu tô $1$ đỉnh (ký hiệu $4-2-1-1$)

- Chọn $1$ màu đứng đầu (để tô cho $4$ đỉnh) : $4$ cách.

- Chọn $1$ màu khác đứng thứ hai (để tô cho $2$ đỉnh) : $3$ cách.

(Còn $2$ màu còn lại mỗi màu chỉ tô $1$ đỉnh thì xếp sau, không phân biệt thứ tự, nên chỉ có $1$ cách)

Vậy trường hợp này có $12$ bộ màu.
 

[Toi yeu Toan hocc]

5) Có ... (ký hiệu $2-2-2-2$)

    $n(M_5)=\frac{96.8}{2}=384$  ;  $n(\Omega _5)=C_8^2C_6^2C_4^2=2520$.

cho em hỏi chỗ này tại sao số cách lại là 96.8/2 vậy ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toi yeu Toan hocc: 18-08-2023 - 02:06

[Toi yeu Toan hocc]

 

4) Có ... (ký hiệu $3-2-2-1$)

    $n(M_4)=12.8.12=1152$  ;  $n(\Omega _4)=12C_8^3C_5^2C_3^2=20160$.

 

 

 

   
 

và cả chỗ này tại sao lại là 12.8.12 vậy ạ?? theo em tính thì là 12.8.18 mới đúng chứ ạ?

[chanhquocnghiem]

Gọi $M$ là biến cố "không có $2$ đỉnh nào thuộc cùng một cạnh được tô cùng màu".

Xét các trường hợp sau :

.....

4) Có 1 màu tô cho 3 đỉnh, 1 màu tô cho 1 đỉnh, 2 màu còn lại, mỗi màu tô 2 đỉnh (ký hiệu $3-2-2-1$)

    $n(M_4)=12.8.12=1152$  ;  $n(\Omega _4)=12C_8^3C_5^2C_3^2=20160$.

5) Mỗi màu tô cho 2 đỉnh (ký hiệu $2-2-2-2$)

    $n(M_5)=\frac{96.8}{2}=384$  ;  $n(\Omega _5)=C_8^2C_6^2C_4^2=2520$.

 

cho em hỏi chỗ này tại sao số cách lại là 96.8/2 vậy ạ?

 

 

và cả chỗ này tại sao lại là 12.8.12 vậy ạ?? theo em tính thì là 12.8.18 mới đúng chứ ạ?

Xét hình lập phương $ABCDEFGH$

4) + Chọn bộ màu : $12$ cách.

    + Chọn $3$ điểm cùng màu : $8$ cách.

    + Sắp xếp $5$ điểm còn lại thành 3 nhóm 2/2/1 (các điểm cùng nhóm không cùng 1 cạnh) : $6$ cách

       Ví dụ 3 điểm $A,C,F$ cùng màu, 5 điểm còn lại là $B,D,E,G,H$ có $6$ cách phân nhóm

       ($BE/DG/H$, $BG/ED/H$, $BD/EG/H$, $BH/ED/G$, $BH/EG/D$, $BH/DG/E$)

    + Gán màu cho mỗi nhóm : $2$ cách.

       (Ví dụ chọn bộ màu $3X-2D-2T-1V$ và có 4 nhóm $ACF/BE/DG/H$ thì có $2$ cách gán màu là

       xanh $ACF$, đỏ $BE$, tím $DG$, vàng $H$  hoặc  xanh $ACF$, tím $BE$, đỏ $DG$, vàng $H$)

    $\Rightarrow n(M_4)=12.8.6.2=1152$.

 

5) + Chọn bộ màu : $1$ cách.

    + Chọn điểm cùng màu với $A$ : $\frac{8}{2}=4$ cách (là điểm $C$, hoặc $F$, hoặc $H$, hoặc $G$)

    + Chia $6$ điểm còn lại thành 3 nhóm 2/2/2 (các điểm cùng nhóm không cùng một cạnh) : $4$ cách

       Ví dụ trường hợp $A$ cùng màu với $C$ có $4$ cách phân nhóm (các điểm cùng nhóm thì cùng màu) :

       ($AC/EG/BD/FH$, $AC/EG/BH/FD$, $AC/EB/DG/FH$, $AC/ED/BG/FH$)

    + Gán màu cho mỗi nhóm : $4!$ cách.

    $\Rightarrow n(M_5)=4.4!.\frac{8}{2}=96.4=384$.