Tìm tất cả hàm số: f: R→R liên tục trên R thỏa mãn: f(x×y) = f(x)×f(y) ∀x,y∈R
$f(x\times y)=f(x)\times f(y)\forall x,y\epsilon R$
Bắt đầu bởi thuvitoanhoc, 05-09-2021 - 10:40
phương trình hàm
#2
Đã gửi 05-09-2021 - 16:40
thuvitoanhoc
-
- Thành viên mới
-
- 34 Bài viết
Binh nhất
Mình biết một hàm số thõa yêu cầu của đề bài là f(x) = $\mid x\mid ^{\alpha }$ với $(\alpha > 0)$. Khi đó ta có:
f(x.y) = $\mid x.y\mid ^{\alpha }=\mid x\mid ^{\alpha }.\mid y\mid ^{\alpha }$ =f(x).f(y) . Không biết có bạn nào đưa ra được lời giải cho bài toán này không ?
#3
Đã gửi 05-09-2021 - 17:07
pcoVietnam02
-
- Thành viên
-
- 208 Bài viết
Thượng sĩ
Gợi ý: Đặt $f(x)=e^{g(\text{ln }x)}$ thì sẽ dễ dàng có được $g$ là hàm Cauchy. Mà $f$ liên tục nên $g$ liên tục. Do đó $g(x)=cx$, $c$ là hằng số bất kì. Và sau đó ra được hàm như bạn đề cập.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 05-09-2021 - 17:07
- Hoang72 yêu thích
#4
Đã gửi 05-09-2021 - 17:14
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 4999 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Gợi ý: Đặt $f(x)=e^{g(\text{ln }x)}$ thì sẽ dễ dàng có được $g$ là hàm Cauchy. Mà $f$ liên tục nên $g$ liên tục. Do đó $g(x)=cx$, $c$ là hằng số bất kì. Và sau đó ra được hàm như bạn đề cập.
Cách này chỉ đúng trên $\mathbb{R}^+$ thôi em.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#6
Đã gửi 05-09-2021 - 19:41
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 4999 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Anh thấy cách đặt của pco rất dễ hiểu và tự nhiên ấy chứ 
Đầu tiên là xét các nghiệm hằng, sau đó chứng minh trong trường hợp không hằng thì $f(0)=0, f(1)=1$ và $f(x)$ dương nếu $x$ dương.
Từ đó, xét riêng trên miền $\mathbb{R}^+$, đặt $x=e^t, \, g(t)=\ln f(e^t)$ để suy ra $g(t)$ cộng tính và liên tục. Phần còn lại thì dễ rồi.
- DOTOANNANG yêu thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!!
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình hàm
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x-f(y)) = f(f(y)) +x.f(y) + f(y) -1$Bắt đầu bởi noname0101, 21-02-2024  phương trình hàm
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2x+3y)=2f(x)+3g(y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(3x+2y)=f(x)+2f(x+y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2xy+x)=f(xy+x)+f(x)f(y)$Bắt đầu bởi do viet anh, 07-06-2023 phương trình hàm
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^2+yf(x))=xf(f(x))+f(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}.$Bắt đầu bởi WilliamFan, 26-05-2023 phương trình hàm, đại số
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
