Đến nội dung

Hình ảnh

$f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)\forall x,y\in \mathbb{R}$

- - - - - phương trình hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
thh2

thh2

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)\forall x,y\in \mathbb{R}$

Chứng minh rằng f là hàm tuyến tính.



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Hình như chỉ suy ra được cộng tính.

Thay x = y = 0 ta có f(0) = 0.

Thay y = -1 ta có $f(x)+f(-x)=0$. Suy ra $f$ là hàm lẻ.

Thay x bởi -x ta có: $f(-xy-x+y)=f(-xy)+f(-x)+f(-y)$.

Cộng vế với vế có: $f(xy+x+y)+f(-xy-x+y)=2f(y)$.

Suy ra $f(a)+f(b)=2f(\frac{a+b}{2}),\forall a,b\in\mathbb R$.

Thay $a=0$ ta có $f(b)=2f(\frac{b}{2}),\forall b\in\mathbb R$.

Thay lại ta có $f(a)+f(b)=f(a+b),\forall a,b\in\mathbb R$.

Vậy $f$ là hàm cộng tính.



#3
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
Cộng vế với vế có: $f(xy+x+y)+f(-xy-x+y)=2f(y)$.

Suy ra $f(a)+f(b)=2f(\frac{a+b}{2}),\forall a,b\in\mathbb R$.

Chú ý là nên làm rõ đoạn chứng minh với mọi $a,b$ thực thì hpt sau có nghiệm thực $x,y$:

\[\left\{ \begin{array}{l}
xy + y + x = a\\
 - xy - y + x = b
\end{array} \right.\]


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#4
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)\forall x,y\in \mathbb{R}$ (1)

Chứng minh rằng f là hàm cộng tính.

 

Mình nghĩ nếu bạn cần chứng minh tuyến tính thì cần thêm điều kiện $f$ liên tục (nếu tuyến tính thì ra hàm thỏa luôn đi chứ còn bảo chứng minh làm gì :wacko:), còn không thì chỉ được cộng tính như em Hoàng nói. 

 

Thực ra theo hướng của em Hoàng thì việc chứng minh cái bài toán phụ như anh Perfectstrong có thể sẽ khó khăn nên mình đề xuất cách 2 dễ tiếp cần hơn (với việc bài toán phụ sẽ dễ hơn).

 

Tự suy ra được $f(0)=0$ và $f$ là hàm lẻ. 

Thay $x$ bởi $-x$ và $y$ bởi $-y$ và dùng hàm lẻ ta được $f(xy-x-y)=f(xy)-f(x)-f(y)$ (2)

Lấy (1)+(2), vế theo vế được $f(xy+x+y)=f(x+y-xy)+2f(xy)$.

Từ đây sẽ rất dễ dàng chứng minh được với mọi $a,b$ thì hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x+y=a\\ xy=b \end{array} \right.$ luôn có nghiệm. (Dễ dàng chứng minh bằng việc xét khoảng của $b$)

Do đó mình viết lại là $f(a+b)=f(a-b)+2f(b)$

Tới đây có thể đưa về hàm Jensen rồi biện luận ra hàm Cauchy như em Hoàng, hoặc bạn có thể thay $a$ bởi $a+b$ được $f(a+2b)=f(a)+2f(b)$, cho $a=0$ để có $f(2b)=2f(b)$, thay lại vào được $f(a+2b)=f(a)+f(2b)$ hay $f(a+b)=f(a)+f(b)$ làm hàm cộng tính.

 

P/s: Bài này là IMO Shortlist 1979, một bài rất điển hình trong chuyên đề phương trình hàm Cauchy mà mình khuyên bạn nên quan tâm nó nhiều hơn :Đ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 05-09-2021 - 16:53






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình hàm

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh