Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)\forall x,y\in \mathbb{R}$
Chứng minh rằng f là hàm tuyến tính.
Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)\forall x,y\in \mathbb{R}$
Chứng minh rằng f là hàm tuyến tính.
Hình như chỉ suy ra được cộng tính.
Thay x = y = 0 ta có f(0) = 0.
Thay y = -1 ta có $f(x)+f(-x)=0$. Suy ra $f$ là hàm lẻ.
Thay x bởi -x ta có: $f(-xy-x+y)=f(-xy)+f(-x)+f(-y)$.
Cộng vế với vế có: $f(xy+x+y)+f(-xy-x+y)=2f(y)$.
Suy ra $f(a)+f(b)=2f(\frac{a+b}{2}),\forall a,b\in\mathbb R$.
Thay $a=0$ ta có $f(b)=2f(\frac{b}{2}),\forall b\in\mathbb R$.
Thay lại ta có $f(a)+f(b)=f(a+b),\forall a,b\in\mathbb R$.
Vậy $f$ là hàm cộng tính.
Cộng vế với vế có: $f(xy+x+y)+f(-xy-x+y)=2f(y)$.
Suy ra $f(a)+f(b)=2f(\frac{a+b}{2}),\forall a,b\in\mathbb R$.
Chú ý là nên làm rõ đoạn chứng minh với mọi $a,b$ thực thì hpt sau có nghiệm thực $x,y$:
\[\left\{ \begin{array}{l}
xy + y + x = a\\
- xy - y + x = b
\end{array} \right.\]
Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)\forall x,y\in \mathbb{R}$ (1)
Chứng minh rằng f là hàm cộng tính.
Mình nghĩ nếu bạn cần chứng minh tuyến tính thì cần thêm điều kiện $f$ liên tục (nếu tuyến tính thì ra hàm thỏa luôn đi chứ còn bảo chứng minh làm gì ), còn không thì chỉ được cộng tính như em Hoàng nói.
Thực ra theo hướng của em Hoàng thì việc chứng minh cái bài toán phụ như anh Perfectstrong có thể sẽ khó khăn nên mình đề xuất cách 2 dễ tiếp cần hơn (với việc bài toán phụ sẽ dễ hơn).
Tự suy ra được $f(0)=0$ và $f$ là hàm lẻ.
Thay $x$ bởi $-x$ và $y$ bởi $-y$ và dùng hàm lẻ ta được $f(xy-x-y)=f(xy)-f(x)-f(y)$ (2)
Lấy (1)+(2), vế theo vế được $f(xy+x+y)=f(x+y-xy)+2f(xy)$.
Từ đây sẽ rất dễ dàng chứng minh được với mọi $a,b$ thì hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x+y=a\\ xy=b \end{array} \right.$ luôn có nghiệm. (Dễ dàng chứng minh bằng việc xét khoảng của $b$)
Do đó mình viết lại là $f(a+b)=f(a-b)+2f(b)$
Tới đây có thể đưa về hàm Jensen rồi biện luận ra hàm Cauchy như em Hoàng, hoặc bạn có thể thay $a$ bởi $a+b$ được $f(a+2b)=f(a)+2f(b)$, cho $a=0$ để có $f(2b)=2f(b)$, thay lại vào được $f(a+2b)=f(a)+f(2b)$ hay $f(a+b)=f(a)+f(b)$ làm hàm cộng tính.
P/s: Bài này là IMO Shortlist 1979, một bài rất điển hình trong chuyên đề phương trình hàm Cauchy mà mình khuyên bạn nên quan tâm nó nhiều hơn :Đ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 05-09-2021 - 16:53
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x-f(y)) = f(f(y)) +x.f(y) + f(y) -1$Bắt đầu bởi noname0101, 21-02-2024 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2x+3y)=2f(x)+3g(y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(3x+2y)=f(x)+2f(x+y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2xy+x)=f(xy+x)+f(x)f(y)$Bắt đầu bởi do viet anh, 07-06-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^2+yf(x))=xf(f(x))+f(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}.$Bắt đầu bởi WilliamFan, 26-05-2023 phương trình hàm, đại số |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh