Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi thử đội tuyển Olympic 30-4 THPT Ngô Gia Tự - Khối 11


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 NamAnhk4

NamAnhk4

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

Đã gửi 05-09-2021 - 18:43

1. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $(a+bc)^{2}+(b+ca)^{2}+(c+ab)^{2}\geq \sqrt{2} (a+b)(b+c)(c+a)$

 

2.Tìm tất cả giá trị $n$ sao cho đa thức $x^{n} + 4$ có thể phân tích thành tích của hai đa thức khác hằng số với hệ số nguyên

 

3. Cho tam giác $ABC$, biết rằng trung tuyến $AM$ có độ dài bằng $1$ trong $2$ cạnh kề góc $A$ của tam giác $ABC$ và $(d)$ là đường thẳng qua $M$ song song với đường thẳng chứa cạnh này. Trên $AC$ và tiếp tuyến tại $C$ của đường tròn $(ACM)$ lấy lần lượt 2 điểm $N,D$ sao cho $NB=NC, DB=DC. (d)$ giao $(NMC)$ tại điểm thứ 2 $K. AM$ giao $(DMC)$ tại điểm thứ 2 $I. CD$ cắt đường tròn $(ABC)$ tại $E$ khác $C$. 

Chứng minh đường thẳng nối trung điểm $AE, IK$ đi qua $C$

 

4. Cho $2021$ thành phố, biết rằng từ $1$ thành phố bất kì có thể bay sang đúng $n$ thành phố khác (đường bay là 2 chiều). Tìm $n$ nhỏ nhất sao cho: Để di chuyển từ thành phố $A$ bất kì sang $1$ thành phố $B$ khác, chỉ cần trung chuyển không quá $2$ thành phố khác

 

5. Sau khi cân $11$ con gà, bác nông dân có nhận xét sau:

- Luôn có thể chia $10$ con gà bất kì thành hai nhóm, mỗi nhóm $5$ con, sao cho tổng cân nặng ở mỗi nhóm bằng nhau

- Tổng cân nặng của cả đàn gà là $759$.

Tính cân nặng của mỗi con gà, biết rằng các cân nặng này đều là số tự nhiên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NamAnhk4: 06-09-2021 - 15:02


#2 phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 436 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lỗ đen vũ trụ

Đã gửi 05-09-2021 - 20:24

Bài 1: a=b=0 và c=1 thì VT=1>0=VP

#3 NamAnhk4

NamAnhk4

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

Đã gửi 05-09-2021 - 20:37

Bài 1: a=b=0 và c=1 thì VT=1>0=VP

đã sữa, do mình gõ latex nó không hiện dấu nên không dò được



#4 phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 436 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lỗ đen vũ trụ

Đã gửi 05-09-2021 - 23:09

1. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $(a+bc)^{2}+(b+ca)^{2}+(c+ab)^{2}\geq \sqrt{2} (a+b)(b+c)(c+a)$

 

 

Một trong ba số $(1-a)(1-b)$, $(1-b)(1-c)$, $(1-c)(1-a)$ phải có ít nhất một số dương, nếu không có số nào dương thì tích 3 số này là một số âm (vô lý). Không mất tính tổng quát, giả sử $(1-b)(1-c)\geq 0$

 

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có  $$(b+ca)^2+(c+ab)^2\geq \frac{(b+ca+c+ab)^2}{2}=\frac{(1+a)^2(b+c)^2}{2}$$

 

Theo bất đẳng thức AM-GM thì $$\frac{(1+a)^2(b+c)^2}{2}+(a+bc)^2\geq \sqrt{2}(1+a)(b+c)(a+bc)$$

 

Từ những điều trên ta suy ra $VT\geq \sqrt{2}(1+a)(b+c)(a+bc)$

 

Ta lại có $(1+a)(b+c)(a+bc)-(a+b)(b+c)(c+a)=a(1-b)(1-c)(b+c)\geq 0$

 

suy ra $(1+a)(b+c)(a+bc)\geq (a+b)(b+c)(c+a)$

 

Vậy $VT\geq \sqrt{2}(a+b)(b+c)(c+a) $



#5 nhatvinh2018

nhatvinh2018

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Đã gửi 06-09-2021 - 14:42

Một trong ba số $(1-a)(1-b)$, $(1-b)(1-c)$, $(1-c)(1-a)$ phải có ít nhất một số dương, nếu không có số nào dương thì tích 3 số này là một số âm (vô lý). Không mất tính tổng quát, giả sử $(1-b)(1-c)\geq 0$

 

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có  $$(b+ca)^2+(c+ab)^2\geq \frac{(b+ca+c+ab)^2}{2}=\frac{(1+a)^2(b+c)^2}{2}$$

 

Theo bất đẳng thức AM-GM thì $$\frac{(1+a)^2(b+c)^2}{2}+(a+bc)^2\geq \sqrt{2}(1+a)(b+c)(a+bc)$$

 

Từ những điều trên ta suy ra $VT\geq \sqrt{2}(1+a)(b+c)(a+bc)$

 

Ta lại có $(1+a)(b+c)(a+bc)-(a+b)(b+c)(c+a)=a(1-b)(1-c)(b+c)\geq 0$

 

suy ra $(1+a)(b+c)(a+bc)\geq (a+b)(b+c)(c+a)$

 

Vậy $VT\geq \sqrt{2}(a+b)(b+c)(c+a) $

dấu bằng khi nào a ?



#6 Forthewin

Forthewin

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đại số
    Bất đẳng thức
    Số học

Đã gửi 06-09-2021 - 15:13


 

4. Cho $2021$ thành phố, biết rằng từ $1$ thành phố bất kì có thể bay sang đúng $n$ thành phố khác (đường bay là 2 chiều). Tìm $n$ nhỏ nhất sao cho: Để di chuyển từ thành phố $A$ bất kì sang $1$ thành phố $B$ khác, chỉ cần trung chuyển không quá $2$ thành phố khác

 

Câu 4: Em không rõ ý đề bài là tìm n nhỏ nhất để " trong mọi trường hợp thì thỏa ycbt "  hay " tồn tại 1 trường hợp sắp xếp đường bay thỏa ycbt"

 

Với 1 ý, ta có thể chứng minh bằng cách xây dựng "kịch bản xấu nhất"

Nghĩa là xét trường hợp : $n+1 (n<2021)$ thành phố $A_{1},A_{2},...A_{n+1}$ sao mỗi thành phố trong chúng chỉ có đường bay giữa chúng mà thôi

Khi đó sẽ không có đường bay nào tới thành phố khác từ $A_{n+2}, ... A_{2021}$

Vì vậy để đạt được ycbt thì $n = 2020$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forthewin: 06-09-2021 - 15:41


#7 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Thích phương trình hàm và ghéc những thằng đòi học sớm 5p

Đã gửi 06-09-2021 - 18:03

Thấy bài 4 quen quen, thì ra là đề PMO 2021 mình mới lấy đề này ra cho bọn nhỏ :'). 

Xem ở đây



#8 youknower

youknower

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Đã gửi 06-09-2021 - 21:37

Bài 3 có vẻ sự kết hợp cơ học của tính chất tứ giác điều hòa và mở rộng bài 5 VNTST 2009.

Điểm thú vị là cả 2 trường hợp đều đúng với bài toán ( $AB=AM$ hoặc $AC=AM$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youknower: 06-09-2021 - 21:41


#9 phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 436 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lỗ đen vũ trụ

Đã gửi 06-09-2021 - 21:45


5. Sau khi cân $11$ con gà, bác nông dân có nhận xét sau:

- Luôn có thể chia $10$ con gà bất kì thành hai nhóm, mỗi nhóm $5$ con, sao cho tổng cân nặng ở mỗi nhóm bằng nhau

- Tổng cân nặng của cả đàn gà là $759$.

Tính cân nặng của mỗi con gà, biết rằng các cân nặng này đều là số tự nhiên.

Gọi $a_1, a_2, ..., a_{11}$ là cân nặng của mỗi con gà. Khi đó với 2 bộ $(a_1,a_2,...,a_{10}), (a_1,a_2,...,a_8,a_9,a_{11})$ mà mỗi bộ được chia thành 2 nhóm bất kì nên ta có thể chia thành

 

$$\left\{\begin{matrix}a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}\\a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=a_6+a_7+a_8+a_9+a_{11}\end{matrix}\right.$$

 

suy ra $a_{10}=a_{11}$

 

Lập luận tương tự ta suy ra được $a_1=a_2=...=a_9=a_{10}$

 

mà tổng cân nặng của cả đàn gà là $759$ nên $a_1=a_2=...=a_9=a_{10}=a_{11}=\frac{759}{11}=69$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh