Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Mọi không gian vectơ 1-chiều đều đẳng cấu, nhưng một số không gian đẳng cấu hơn những không gian khác

đại số tuyến tính

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 nmlinh16

nmlinh16

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hạ Long
  • Sở thích:Arithmetic geometry

Đã gửi 06-09-2021 - 15:36

Một trong những bài học đầu tiên về đại số tuyến tính là "hai không gian vectơ $n$-chiều thì đẳng cấu". Thực ra, phát biểu đó đã ẩn đi một vấn đề không tầm thường: đẳng cấu đó không "tự nhiên" - để xây dựng nó thì ta cần chọn cơ sở cho hai không gian. (Khái niệm "tự nhiên" có thể định nghĩa chặt chẽ được bằng ngôn ngữ phạm trù, tuy nhiên trong ngữ cảnh của các không gian vectơ thì ta có thể hiểu đơn giản là "tự nhiên" = "không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở").

 

Để cho quen thuộc, ta xét mọi thứ trên trường số thực, nhưng thật ra tất cả các suy luận dưới đây không phụ thuộc vào việc ta xét trên trường nào. Ta thường dùng chữ cái $L$ để chỉ các không gian vectơ 1-chiều, vì chúng chính là các "đường thẳng" (line).

 

Sự khác biệt căn bản giữa tập số thực $\mathbb{R}$ và một không gian vectơ 1-chiều $L$ đó là trên $L$ không có một phép nhân "tự nhiên". Lí do là vì trên $\mathbb{R}$ có một cơ sở "chính tắc" (số 1), còn trên $L$ thì không. Thật vậy, cho một đẳng cấu $\mathbb{R} \to L$ chính là cho một cơ sở (i.e. một phần tử $e \neq 0$) của $L$. Giả sử ta dùng đẳng cấu này để định nghĩa phép nhân trên $L$, nghĩa là $$(ae) \cdot (be):= ab e$$ với mọi $a,b \in \mathbb{R}$. Bây giờ ta đổi sang cơ sở khác $e'$ và viết $e' = \lambda e$, với $\lambda \in \mathbb{R}$. Thế thì theo phép nhân vừa định nghĩa ở trên, ta có $$(ae') \cdot (be') = (a\lambda e) \cdot (b\lambda e) = ab\lambda^2 e = ab\lambda e',$$ nghĩa là phép nhân này không còn là phép nhân số thực thông thường khi ta chuyển sang cơ sở mới $e'$. Hiện tượng này được diễn tả lại bằng ngôn ngữ phạm trù như sau: "Biểu đồ

Untitled.png

không giao hoán."

 

Thật ra chúng ta đã thấy hiện tượng này trong một ngữ cảnh quen thuộc hơn: vật lý. Đó chính là vấn đề đổi đơn vị. Ta xét hai đơn vị đo độ dài là ${\rm m}$ và ${\rm dm}$. Ta có $1 {\rm m} = 10 {\rm dm}$, nhưng khi đổi sang đơn vị đo diện tích thì $1 {\rm m}^2 = 100 {\rm dm}^2$. Chính xác hơn, ta không thể cứ làm phép nhân một cách đơn giản $1 {\rm m} \times 1 {\rm m} = 1 {\rm m}$, vì nếu như vậy thì khi đổi sang đơn vị ${\rm dm}$, ta sẽ có $10 {\rm dm} \times 10 {\rm dm} = 10 {\rm dm}$, không tương thích với phép nhân số thực thông thường.

 

Khi đo độ dài, thực ra chúng ta không sử dụng một con số, mà chúng ta đang sử dụng một phần tử của một không gian vectơ 1-chiều. Các đại lượng vô hướng được đo bởi các không gian vectơ 1-chiều, và việc chọn cơ sở cho các không gian này giống như việc chuẩn hoán đơn vị. Việc đổi cơ sở cũng giống như việc đổi đơn vị.

 

Phép nhân "tự nhiên" trên không gian vectơ đo độ dài được cho bởi $1 {\rm m} \times 1 {\rm m} = 1 {\rm m}^2$, và $1 {\rm m}^2$ không còn là một vô hướng để đo độ dài nữa. Điều này gợi ý rằng để xây dựng một phép nhân tự nhiên trên một không gian vectơ 1-chiều, ta cần hi sinh tính "đóng kín" của phép nhân (nghĩa là kết quả của phép nhân không còn nằm trong không gian ban đầu nữa). Đối tượng toán học cho phép làm điều này chính là tích tenxơ.

 

Cho $V$ và $W$ là hai không gian vectơ. Ta sẽ chỉ ra định nghĩa ad hoc của tích tenxơ $V \otimes W$ như sau. $V \otimes W$ là tập hợp các tổng hình thức hữu hạn dạng $$\sum_{i = 1}^n \lambda_i (v_i \otimes w_i),$$ trong đó $\lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \mathbb{R}$, $v_1,\ldots,v_n \in V$ và $w_1,\ldots,w_n \in W$. Phép cộng và phép nhân với vô hướng trên $V \otimes W$ được thực hiện một cách hiển nhiên, và bị ràng buộc bởi điều kiện "song tuyến tính" dưới đây

$$v \otimes (w_1 + w_2) = v \otimes w_1 + v \otimes w_2,$$

$$(v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w,$$

$$\lambda (v \otimes w) = (\lambda v) \otimes w = v \otimes (\lambda w)$$ với mọi $v,v_1,v_2 \in V$, $w, w_1, w_2 \in W$ và $\lambda \in \mathbb{R}$. Nếu bộ $(e_i)_{i \in I}$ là một cơ sở của $V$ và bộ $(f_j)_{j \in J}$ là một cơ sở của $W$ thì bộ $(e_i \otimes f_j)_{i \in I, j \in J}$ là một cơ sở của $V \otimes W$. Nói riêng, $\dim (V \otimes W) = \dim V \times \dim W$. Tích tenxơ của hai không gian vectơ 1-chiều lại là một không gian vectơ 1-chiều.

 

Tích tenxơ chính cách tự nhiên nhất để nhân hai phần tử của hai không gian vectơ bất kỳ. Nói "nhân" ở đây ý là một ánh xạ song tuyến tính: Cách tự nhiên nhất để  "nhân" một vectơ $v \in V$ và một vectơ $w \in W$ chính là lấy phần tử $v \otimes w \in V \otimes W$. Lí do là vì phép toán $\otimes$ có tính song tuyến tính theo nghĩa ở trên (song tuyến tính = tuyến tính theo từng biến khi cố định biến còn lại). Theo ngôn ngữ phạm trù, sự "tự nhiên nhất" này được phát biểu lại dưới dạng tính chất phổ dụng (universal property): Với mỗi ánh xạ song tuyến tính $\phi: V \times W \to U$ (với $U$ là một không gian vectơ thứ ba, tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính $\psi: V \otimes W \to U$ sao cho $\psi(v \otimes w) = \phi(v,w)$ với mọi $v \in V$ và $w \in W$. Cho một ánh xạ song tuyến tính $V \times W \to U$ cũng chính là cho một ánh xạ tuyến tính $V \otimes W \to U$.

 

Chẳng hạn ta xét $F$ là không gian vectơ đo lực và $L$ là không gian vectơ đo độ dài. Ta sẽ định nghĩa kết quả của phép nhân một phần tử của $f \in F$ với một phần tử $\ell \in L$ bởi phần tử $ab(f \otimes \ell) \in F \otimes L$. Ta khẳng định rằng $F \otimes L$ chính là không gian vectơ 1-chiều để đo năng lượng. Thật vậy, nếu ta chọn cơ sở $f = 1 {\rm N}$ cho $F$ và $\ell = 1 {\rm m}$ cho $L$ và xét hai vectơ khác, $f' = af$, $\ell' = b \ell$ (với $a,b \in \mathbb{R}$), thế thì $f' \otimes \ell' = ab(f \otimes \ell)$ theo quy tắc song tuyến tính. Điều này phù hợp với việc "đổi đơn vị đo năng lượng khi các đơn vị đo lực và đo độ dài thay đổi". Cuối cùng, ta có thể lấy $f \otimes \ell = 1 {\rm N.m} = 1 {\rm J}$ làm cơ sở của $F \otimes L$, tức là làm đơn vị đo năng lượng.

 

Một cách tương tự, nếu $L$ là không gian vectơ 1-chiều để đo độ dài thì không gian vectơ đo diện tích sẽ là $L^{\otimes 2} = L \otimes L$, không gian vectơ đo thể tích sẽ là $L^{\otimes 3} = L \otimes L \otimes L \ldots$

 

Như vậy ta đã có thể nhân hai vectơ từ hai không gian vectơ 1-chiều khác nhau (i.e. nhân hai đơn vị khác nhau). Thế chia thì sao? Để làm phép chia, ta cần biết lấy "nghịch đảo" của một vectơ khác $0$ (tất nhiên, kết quả của phép lấy nghịch đảo nói chung không nằm trong không gian ban đầu). Để khái niệm "nghịch đảo" có nghĩa, trước hết ta cần một phần tử trung lập của tích tenxơ. Điều này khá đơn giản. Với mọi không gian vectơ $V$, ta có một đẳng cấu $$\mathbb{R} \otimes V \to V, \qquad \sum_{i=1}^n \lambda_i \otimes v_i \mapsto \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i,$$ (ánh xạ ngược của nó là $v \mapsto 1 \otimes v$). Đẳng cấu này tự nhiên, vì việc xây dựng nó không cần chọn cơ sở. Tương tự, ta cũng có đẳng cấu tự nhiên $V \otimes \mathbb{R} \to V$. Như vậy tập số thực $\mathbb{R}$, tức là các vô hướng thuần túy (không mang bất kỳ đơn vị nào) chính là "phần tử trung lập" của tích tenxơ.

 

Cho $L$ là một không gian vectơ 1-chiều, nếu ta chỉ ra được một không gian vectơ $L^{\vee}$ sao cho ta có đẳng cấu tự nhiên $L \otimes L^{\vee} \simeq \mathbb{R}$ thì $L^{\vee}$ sẽ đóng vai trò như "nghịch đảo tenxơ" của $L$. Không gian $L^{\vee}$ cần tìm ở đây chính là không gian vectơ đối ngẫu của $L$, tức là không gian các ánh xạ tuyến tính $L \to \mathbb{R}$ (các phiếm hàm tuyến tính hay dạng tuyến tính trên $L$). Đây là một không gian vectơ 1-chiều (vì một dạng tuyến tính $\phi: L \to \mathbb{R}$ sẽ hoàn toàn xác định nếu ta biết giá trị của nó tại một vectơ khác $0$ của $\mathbb{R}$). Ánh xạ tuyến tính $$L \otimes L^{\vee} \to \mathbb{R}, \qquad \sum_{i=1}^n \ell_i \otimes \phi_i \mapsto \sum_{i=1}^n \phi_i(\ell_i)$$ là một toàn cấu, và vì thế là một đẳng cấu vì hai không gian trên đều có số chiều 1. Nó tự nhiên vì cách xây dựng nó không cần chọn cơ sở. Nếu $\ell \in L$ là một vectơ khác $0$, nó lập thành một cơ sở của $L$. Ta định nghĩa "nghịch đảo" của nó là dạng tuyến tính $\ell^{\vee}: L \to \mathbb{R}$ duy nhất sao cho $\ell^{\vee}(\ell) = 1$. Giả sử ta đổi cơ sở của $L$ từ $\ell$ sang $\ell' = a\ell$, $a \neq 0$. Thế thì "nghịch đảo" của $\ell'$ là dạng tuyến tính $L \to \mathbb{R}$ sao cho $\ell' = a\ell \mapsto 1$, nghĩa là $\ell \mapsto \frac{1}{a}$. Nói cách khác nó chính là dạng tuyến tính $\dfrac{\ell^{\vee}}{a}$.

 

GIả sử $L$ là không gian vectơ đo độ dài và $T$ là không gian vectơ đo thời gian. Ta định nghĩa kết quả của phép chia một phần tử $\ell \in L$ cho một phần tử $t \in T$, $t \neq 0$, bởi phần tử $\ell \otimes t^{\vee} \in L \otimes T^{\vee}$. Không gian $L \otimes T^{\vee}$ chính là không gian vectơ đo vận tốc. Thật vậy, nếu ta lấy $\ell = 1 {\rm m}$ cho $L$ và $t = 1 {\rm s}$ cho $T$ và xét hai vectơ khác, $\ell' = a\ell$, $t' = bt$ (với $a,b \in \mathbb{R}$ và $b \neq 0$) thì $$\ell' \otimes (t')^{\vee} = (a\ell) \otimes \dfrac{t^{\vee}}{b} = \dfrac{a}{b} (\ell \otimes t^{\vee}).$$ Điều này phù hợp với việc "đổi đơn vị đo vận tốc khi đơn vị đo độ dài và đơn vị đo thời gian thay đổi". Cuối cùng, ta có thể lấy $\ell \otimes t^{\vee} = 1 {\rm m}/{\rm s}$ làm đơn vị đo vận tốc.

Hình gửi kèm

  • Untitled.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 06-09-2021 - 16:06

$$x - \sum_{\rho} \frac{x^\rho}{\rho} - \log 2\pi - \frac{1}{2}\log(1-x^{-2}) = \frac{\psi(x+0) + \psi(x - 0)}{2}, \qquad \psi(x) = \sum_{\substack{p^n \le x \\  n \ge 1}} \log p.$$

 

"Ce que nous savons est peu de chose, ce que nous ignorons est immense." - P.S. Laplace






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh