Đến nội dung


Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển HSG Toán 2021 THPT Lê Quý Đôn


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 Forthewin

Forthewin

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đại số
    Bất đẳng thức
    Số học

Đã gửi 07-09-2021 - 17:41

Day 1 (7/9/2021)

Bài 1(5đ).Cho $a, b$ là $2$ số nguyên dương

Xét dãy số $(u_{n})$:

$$u_{1}=a; u_{n+1}=\sqrt{b+\sqrt{u_{n}}}$$

a.Chứng minh tồn tại vô số bộ $(a,b)$ sao cho $(u_{n})$ là dãy hằng

b.Đặt $t_{n}=u_{n+1}-u_{n}$. Tính giới hạn của dãy $(t_{1} t_{2}… t_{n})$ theo $a, b$

 

Bài 2(5đ). Cho $a,b\in\mathbb{Z}$, $n\in\mathbb{Z^+}$. Chứng minh $A=b^{n-1}a(a+b)(a+2b)...[a+(n-1)b]$ chia hết cho $n!$

 

Bài 3(5đ). Cho tam giác $ABC$ nhọn. $D$ là điểm thay đổi trên cạnh $BC$. Gọi $M, N$ lần lượt là $2$ điểm trên mặt phẳng thỏa mãn: $MD//AB, ND//AC$ và MD vuông góc  MB, ND vuông góc NC. Gọi $d_{1}, d_{2}$ lần lượt là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $MN$ qua $MB, NC$. Gọi $P$ là giao điểm thứ $2$ của $d_{1}$ với đường tròn $(BDM)$ và $Q$ là giao điểm thứ $2$ của $d_{2}$ với đường tròn $(CDN)$

a. Chứng minh rằng $MN+PQ = MP+NQ$

b. Chứng minh trung điểm $MN$ thay đổi trên $1$ đường thẳng cố định

 

Bài 4(5đ). Tại đại hội thiếu nhi quốc tế, có 2021 bạn thiếu nhi tới từ các nước tham gia 1 trò chơi như sau: Mỗi bạn nhận 1 số kẹo khác nhau từ 1 đến 2021 viên kẹo, sau đó các bạn này ngồi vào 1 bàn tròn. Lượt chơi bắt đầu ở 1 bạn A bất kì, bạn đó sẽ gom số viên kẹo ở 2 bạn kế bên mình (không bao gồm bạn đó) thành 1 phần chung:

- Nếu chênh lệch của 2 bạn này là 1 số chẵn, thì bạn này sẽ chia lại số kẹo trên thành 2 phần bằng nhau cho 2 bạn này.

- Nếu chênh lệch của 2 bạn này là 1 số lẻ, thì bạn này sẽ lấy 1 viên kẹo từ phần chung và bỏ vào phần của mình, sau đó chia lại số kẹo còn lại thành 2 phần bằng nhau cho 2 bạn này.

Sau đó, bạn A kết thúc lượt chơi và bạn phía bên phải bắt đầu lượt chơi của mình. Trò chơi sẽ kết thúc khi số kẹo của các bạn là bằng nhau.

Hãy tìm các cách sắp xếp 2021 bạn thiếu nhi này trong 2 trường hợp số lượt chơi là ít nhất và nhiều nhất


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forthewin: 07-09-2021 - 21:18


#2 Forthewin

Forthewin

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đại số
    Bất đẳng thức
    Số học

Đã gửi 08-09-2021 - 11:00

Day 2 (8/9/2021)

Bài 5(5đ). Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho $(a+b)(b+c)(c+a)>0$. Chứng minh rằng $$\frac{ab}{(a+b)^2}+ \frac{bc}{(b+c)^2}+\frac{ca}{(c+a)^2}+ \frac 54 \ge \frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}.$$

 

Bài 6(5đ). Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $OB \perp OC$ và $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Dựng $2$ tam giác $HBE$ và $HCF$ vuông cân tại đỉnh $H$ (biết rằng tia $HE, HF$ nằm giữa $2$ tia $HB, HC$). Gọi $D$ là giao điểm của $BF$ và $CE$.

a.Chứng minh đường thẳng $AH$ chia đôi đoạn thẳng $EF$

b.Gọi $M$ là điểm nằm trên đường tròn $(DEF)$ sao cho $MD+ME+MF=BC$. Chứng minh đường thẳng $MD$ chia đôi đoạn $BC$

 

Bài 7(5đ). Xét $M$ là tập tất cả các đa thức $p(x)=a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_{1}x+a_0$ trong đó $n$ là số nguyên dương và $a_k$ là số thực thuộc đoạn $\left [ 100;101 \right ]$ với mọi $k=0,1,...,2n$

a.Chứng minh rằng tồn tại đa thức $p(x)$ thuộc $M$ có bậc bằng 200 và có nghiệm thực.

b.Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn tính chất : tồn tại một đa thức $p(x)$ thuộc $M$ có bậc bằng $2n$ và có nghiệm thực.

 

Bài 8(5đ). Cho $ n \ge 3 $ là số nguyên dương. Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $, kí hiệu $T$ là một đa giác lồi $ n $ cạnh

a.Giả sử $n=5$ và $T$ có các đỉnh có tọa độ nguyên. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 điểm có tọa độ nguyên nằm bên trong hoặc trên biên của hình ngũ giác lồi tạo bởi 5 đường chéo của $T$

b.Giả sử $T$ có các đỉnh có hoành độ, tung độ là các số hữu tỉ và tất cả $ n $ cạnh của đa giác có độ dài bằng nhau. Chứng minh rằng $ n $ là số chẵn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forthewin: 08-09-2021 - 11:07


#3 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Thích phương trình hàm và ghéc những thằng đòi học sớm 5p

Đã gửi 08-09-2021 - 11:22

Day 2 (8/9/2021)

Bài 5(5đ). Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho $(a+b)(b+c)(c+a)>0$. Chứng minh rằng $$\frac{ab}{(a+b)^2}+ \frac{bc}{(b+c)^2}+\frac{ca}{(c+a)^2}+ \frac 54 \ge \frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}.$$

 

Bài bất là bài Trường đông 2015


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 08-09-2021 - 11:27


#4 Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 08-09-2021 - 12:07

Day 1 (7/9/2021)
Bài 3(5đ). Cho tam giác $ABC$ nhọn. $D$ là điểm thay đổi trên cạnh $BC$. Gọi $M, N$ lần lượt là $2$ điểm trên mặt phẳng thỏa mãn: $MD//AB, ND//AC$ và MD vuông góc  MB, ND vuông góc NC. Gọi $d_{1}, d_{2}$ lần lượt là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $MN$ qua $MB, NC$. Gọi $P$ là giao điểm thứ $2$ của $d_{1}$ với đường tròn $(BDM)$ và $Q$ là giao điểm thứ $2$ của $d_{2}$ với đường tròn $(CDN)$
a. Chứng minh rằng $MN+PQ = MP+NQ$
b. Chứng minh trung điểm $MN$ thay đổi trên $1$ đường thẳng cố định

Câu b, có thể tổng quát thành bài toán này: "Tam giác $ABC, D \in BC, E$ bất kỳ. $DM, DN$ song song với $AC, AB$ ($M, N$ thuộc $EB, EC$). Chứng minh trung điểm $MN$ thuộc đường cố định khi $D$ di chuyển."Việc chứng minh y chang bài của Hoang72 ở đây.

 

Câu a chịu lun


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 08-09-2021 - 12:08


#5 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Thích phương trình hàm và ghéc những thằng đòi học sớm 5p

Đã gửi 08-09-2021 - 13:28

Câu b, có thể tổng quát thành bài toán này: "Tam giác $ABC, D \in BC, E$ bất kỳ. $DM, DN$ song song với $AC, AB$ ($M, N$ thuộc $EB, EC$). Chứng minh trung điểm $MN$ thuộc đường cố định khi $D$ di chuyển."Việc chứng minh y chang bài của Hoang72 ở đây.

 

Câu a chịu lun

 

Câu b bạn đưa về bài toán tổng quát nó rơi vào trường hợp đặc biệt mấy r, nhưng mà có lẽ vẫn dùng ERIQ được.



#6 Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 08-09-2021 - 14:31

Câu b bạn đưa về bài toán tổng quát nó rơi vào trường hợp đặc biệt mấy r, nhưng mà có lẽ vẫn dùng ERIQ được.

y chang cai cm kia lun


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 08-09-2021 - 14:32


#7 youknower

youknower

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Đã gửi 08-09-2021 - 16:38

 

 

Bài 3(5đ). Cho tam giác $ABC$ nhọn. $D$ là điểm thay đổi trên cạnh $BC$. Gọi $M, N$ lần lượt là $2$ điểm trên mặt phẳng thỏa mãn: $MD//AB, ND//AC$ và MD vuông góc  MB, ND vuông góc NC. Gọi $d_{1}, d_{2}$ lần lượt là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $MN$ qua $MB, NC$. Gọi $P$ là giao điểm thứ $2$ của $d_{1}$ với đường tròn $(BDM)$ và $Q$ là giao điểm thứ $2$ của $d_{2}$ với đường tròn $(CDN)$

a. Chứng minh rằng $MN+PQ = MP+NQ$

b. Chứng minh trung điểm $MN$ thay đổi trên $1$ đường thẳng cố định

 

 

 

Câu a. Đưa về việc chứng minh $MNQP$ ngoại tiếp(có 2 TH chính: tứ giác lồi ngoại tiếp - tứ giác lõm ngoại tiếp). chú ý là $D$ là giao điểm phân giác góc $M, N$ nên ta chứng minh $DP$ cũng là phân giác góc $P$

Chú ý: $BP$ cắt $CQ$ tại 1 điểm thuộc $(O)$, $BM$ cắt $CQ$ tại 1 điểm thuộc $(O)$ và $D$ nằm trên đường thẳng này

Ta có bài toán đơn giản hơn như sau: Gọi $I$ là giao điểm 2 đường chéo của tứ giác nội tiếp $ABCD. M,N,P,Q$ là hình chiếu của $I$ lên các cạnh. Khi đó $MNPQ$ ngoại tiếp


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youknower: 08-09-2021 - 16:40


#8 NamAnhk4

NamAnhk4

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

Đã gửi 11-09-2021 - 22:00

 

Bài 6(5đ). Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $OB \perp OC$ và $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Dựng $2$ tam giác $HBE$ và $HCF$ vuông cân tại đỉnh $H$ (biết rằng tia $HE, HF$ nằm giữa $2$ tia $HB, HC$). Gọi $D$ là giao điểm của $BF$ và $CE$.

a.Chứng minh đường thẳng $AH$ chia đôi đoạn thẳng $EF$

b.Gọi $M$ là điểm nằm trên đường tròn $(DEF)$ sao cho $MD+ME+MF=BC$. Chứng minh đường thẳng $MD$ chia đôi đoạn $BC$

 

 

Câu a:

Tính được $\angle BAC = 45^{0}$ nên $\angle BHC= 135^{0}$

ta có các cặp tam giác bằng nhau $\Delta BHF = \Delta EHF  \Delta CHE = \Delta FHE $

Suy ra $B$ đối xứng $E$ qua $HF$ và $C$ đối xứng $ F$ qua $HE$

Xét tam giác $HEF$ có $\angle H = 45^{0}$ và gọi $T$ là trung điểm $EF$

$2\vec{HT}.\vec{BC} = (\vec{HE}+\vec{HF})(\vec{BH}+\vec{HC}) $

$=\vec{HE}.\vec{HC} +\vec{HF}.\vec{BH}$$= \frac{HE.HC}{\sqrt{2}} -\frac{HF.HB}{\sqrt{2}} = 0$

Vậy $HT \bot BC$ hay $AH$ chia đôi $EF$ 

 

P/s: Câu b khó quá


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NamAnhk4: 11-09-2021 - 22:08


#9 NamAnhk4

NamAnhk4

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

Đã gửi 11-09-2021 - 22:12

Day 1 (7/9/2021)

Bài 1(5đ).Cho $a, b$ là $2$ số nguyên dương

Xét dãy số $(u_{n})$:

$$u_{1}=a; u_{n+1}=\sqrt{b+\sqrt{u_{n}}}$$

a.Chứng minh tồn tại vô số bộ $(a,b)$ sao cho $(u_{n})$ là dãy hằng

 

 

a. Câu này cho điểm :D

Nếu a là dãy hằng thì $u_{n}=a$ 

từ đó suy ra $$a=\sqrt{b+\sqrt{a}}$$ 

$b=a^{2}-\sqrt{a}$

Chọn $a = k^{2}$ suy ra $ b=k^{4}-k$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NamAnhk4: 11-09-2021 - 22:13





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh