Đến nội dung

Hình ảnh

$x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_{n}+\sqrt{x_{n}^{2}+\frac{1}{4^{n}}})$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
minie123

minie123

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Cho dãy: $$\left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{1}{2} \\ x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_{n}+\sqrt{x_{n}^{2}+\frac{1}{4^{n}}}) \end{matrix}\right.$$
Tính $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 08-09-2021 - 13:51
Tiêu đề + LaTeX


#2
William Nguyen

William Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết

+, Từ công thức truy hồi có:

     $2^{n+1}.x_{n+1} = 2^n.\left(x_n+\sqrt{x_n^2+\frac{1}{4^n}}\right)$

$\Rightarrow 2^{n+1}.x_{n+1} = 2^n.x_n+\sqrt{\left(2^n.x_n\right)^2+1}$

 

+, Đặt $v_n = 2^n.x_n, \forall n \in \mathbb{N}^*$

    Ta có $v_{n+1} = v_n+\sqrt{v_n^2+1}$ và $v_1=1$

   

    Dễ chứng minh $v_n > 0, \forall n \in \mathbb{N}^*$

    Đặt $v_{n} = \frac{1}{u_n} \Rightarrow u_n = \frac{1}{v_n}, \forall n \in \mathbb{N}^*$ và $u_1=1$

 

    Ta có $\frac{1}{u_{n+1}} = \frac{1}{u_n}+\sqrt{\left(\frac{1}{u_n}\right)^2+1}$

 

$\Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}} = \frac{\sqrt{u_n^2+1}+1}{u_n}$

$\Rightarrow u_{n+1} = \frac{u_n}{\sqrt{u_n^2+1}+1} = \frac{\sqrt{u_n^2+1}-1}{u_n}, \forall n \in \mathbb{N}^*$

 

+, Đến đây ta có dãy số

$(u_n): \begin{cases}u_1 = 1& \\u_{n+1} = \frac{\sqrt{u_n^2+1}-1}{u_n} &\forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}$

    và

$x_n = \frac{1}{2^n.u_n}, \forall n \in \mathbb{N}^*$

   

    Ta chứng minh được công thức số hạng tổng quát:

 

$u_n = tan \frac{\pi}{2^{n+1}}, \forall n \in \mathbb{N}^*$

 

    với cách làm tương tự ở đây.

 

    Do đó

$x_n = \frac{1}{2^n. tan \frac{\pi}{2^{n+1}}} = \frac{2}{\pi}.\frac{\frac{\pi}{2^{n+1}}}{tan \frac{\pi}{2^{n+1}}}, \forall n \in \mathbb{N}^*$

 

+, Khi $n \rightarrow +\infty \Rightarrow \frac{\pi}{2^{n+1}} \rightarrow 0$.

   

    Đến đây áp dụng $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sinx}{x}=1$ ta có

 

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{tanx} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{sinx}.cosx = 1.cos(0) = 1$

   

    Do đó $\lim_{n\rightarrow +\infty} x_n = \frac{2}{\pi}$.

 

P/S:

Giải mãi mà không ra, đến khi vô tình làm câu ở link trên kia mới nhận ra cách đặt dãy phụ và giải được.

Câu này nằm trong đề thi chọn hsg toán 12 tỉnh Bình Dương năm 2020-2021.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh