Chủ đề này có 2 trả lời

[Serine]

Cho phương trình:

$$\frac{x+1}{y}+\frac{y+1}{x}=3$$

với $x, y$ là các số nguyên dương. Chứng minh pt đã cho có vô số nghiệm.

[Hoang72]

PT tương đương $(x+y)^2+(x+y)=5xy$.

Chọn $x+y=5k(k\in\mathbb N^*)$. 

Khi đó $xy=5k^2+k$.

Do đó $x,y$ là nghiệm của phương trình $t^2-5kt+(5k^2+k)=0$.

Phương trình trên luôn có 2 nghiệm dương.

Khi đó $t=\frac{5k\pm\sqrt{5k^2-4k}}{2}$. 

Nhận thấy nếu $5k^2-4k$ là số chính phương thì $t$ luôn là số nguyên dương.

Do đó ta chỉ cần chứng minh tồn tại vô số giá trị $k$ để $5k^2-4k$ là số chính phương.

Đặt $5k^2-4k=m^2\Leftrightarrow (5k-4)^2=5m^2+16\Leftrightarrow 5m^2-(5k-4)^2+16=0$.

Đây là phương trình Pell và có vô số nghiệm nguyên dương.

Vậy ta có đpcm.

[perfectstrong]

Viết lại thành phương trình bậc 2 theo $x$: $$x^2+x(1-3y) + y^2+y=0 (1)$$

Tính biệt thức theo $x$: $\Delta_x =5y^2-10y+1$. Để (1) có nghiệm nguyên thì $\Delta_x$ phải là số chính phương.

Đặt $\Delta_x = k^2 \Rightarrow 5(y-1)^2=k^2+4 \Leftrightarrow k^2 - 5(y-1)^2=-4$.

Đây là phương trình Pell mở rộng, có một nghiệm là $(k;y-1)=(1;1)$. Xét phương trình Pell resolvent tương ứng: $A^2-5B^2=1$. Phương trình này có 1 nghiệm là $(A;B)=(9;4)$. Từ đây có thể xây dựng $(k;y)$ và suy ra $(x;y)$