Đến nội dung

Hình ảnh

$f(y-f(x))=f(x^{2020}-y)-2019yf(x)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(y-f(x))=f(x^{2020}-y)-2019yf(x) \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$

 

gõ lộn hihi, xin lỗi nha


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 11-09-2021 - 15:51


#2
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Bài này là VMO 2002 nhưng đổi số. Có một cách trong file "Kĩ thuật giải phương trình hàm", nhưng mà sao không hiểu người viết sách lại không dùng cách này nhỉ

Gọi $P(x,y)$ là phép thể của phương trình hàm đề bài. 

Ta cần triệt tiêu $f(y-f(x))$ và $f(x^{2020}-y)$ do đó ta cần $y-f(x)=x^{2020}-y\Rightarrow y=\frac 12 (x^{2020}+f(x))$

Do đó $P(x, \frac 12 (x^{2020}+f(x))) \Rightarrow 2019.\frac 12 (x^{2020}+f(x))f(x)=0$

Suy ra $f(x)=0$ hoặc $f(x)=-x^{2020}$. 

Quên mất vì $f:\mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ nên $f(x)=-x^{2020}, \forall x\in\Bbb R^+$, không cần bước kiểm tra hàm khác.

Thử lại vào phương trình hàm ban đầu thấy không thỏa, vậy không có hàm nào thỏa đề bài.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 11-09-2021 - 16:01


#3
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

gõ lộn hihi, xin lỗi nha

 

Ôi, bẻ lái phút cuối :') . Thôi không sao mình tiếp tục từ bước 2 trường hợp.

Ta sẽ kiểm tra xem có tồn tại hàm khác sao cho $f(a)=0$ và $f(b)=-b^{2020}$, với $a,b \neq 0$ không.

$P(0,\frac 12 f(0)) \Rightarrow f(0)=0$ 

$P(0,y)\Rightarrow f(-y)=f(y)$ suy ra $f$ là hàm chẵn

$P(a,-b)\Rightarrow f(-b)=f(a^{2020}+b)=f(b)$

Nếu $f(a^{2020}+b)=0$ thì $-b^{2020}=0\Rightarrow b=0$ (mâu thuẫn $b\neq 0$)

Nếu $f(a^{2020}+b)=-(a^{2020}+b)^{2020}=-b^{2020}=f(b)$ cũng mâu thuẫn nốt. 

Vậy chỉ có 2 hàm $f(x)=0 \forall x\in\Bbb R$ và $f(x)=-x^{2020} \forall x\in\mathbb R$ thỏa

Thử lại chỉ có $f(x)=0$ thỏa.

(Lưu ý: Không nên dùng $P(a,b)$ vì bài này dùng cái đó nó bị bí chỗ $-(a^{2020}-b)^{2020}=-b^{2020}$)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh