Bài 1: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}x+y+z=-1\\ x^3+y^3+z^3=11\end{matrix}\right.$
a) Biểu diễn $zx$ theo y
b) Chứng minh rằng trong 3 số $x,y,z$ có ít nhất 1 số thuộc đoạn $[-2,-1]$
Bài 2: Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương, trong đó $a,b$ nguyên tố cùng nhau và $\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ là số nguyên.
Chứng minh rằng $a$ là số chính phương
Bài 3: Cho dãy số $(a_n)_n$ được xác định như sau $\left\{\begin{matrix}a_0=1 \, \, , \, \,a_1=13\\ a_{n+2}=14a_{n+1}-a_n \, \, , \forall n\in \mathbb{N}\end{matrix}\right.$
a) Chứng minh rằng $2a_n-1$ là số chính phương với mọi số tự nhiên $n$
b) Chứng minh rằng $a_n$ luôn được viết dưới dạng tổng bình phương của 2 số tự nhiên với mọi số tự nhiên $n$
Bài 4: Tìm tất cả hàm số lẻ $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f(f(x)+y)=2x+f(x-f(y)) \, \, , \, \, \forall x,y\in \mathbb{R}$$
Bài 5: Cho hai đường tròn $(O_1, R_1)$ và $(O_2,R_2)$ cắt nhau tại $A, B$ sao cho tam giác $AO_1O_2$ vuông tại $A$. Tia $O_1O_2$ cắt đường tròn $(O_2)$ tại $E,F$ và cắt đường tròn $(O_1)$ tại $D$. Điểm $M$ thay đổi trên đường tròn $(O_1)$ và không thuộc đường thẳng $O_1O_2$. Kẻ đường kính $MP$ của $(O_1)$. Tia $O_2M$ cắt đường tròn $(O_1)$ tại điểm thứ 2 là $N$. Tia $O_2P$ cắt đường tròn $(O_1)$ tại điểm thứ 2 là $Q$. Chứng minh rằng :
a) $MD$ là phân giác của góc $\widehat{EMF}$
b) $MP, \,NQ, \,AB$ đồng quy hoặc đôi một song song
c) $NQ$ luôn đi qua 1 điểm cố định
Bài 6: Có 2021 viên bi, đựng trong 100 cái hộp. Mỗi lần, cho phép lấy 2 viên bi, 2 viên bi đó thuộc vào tối đa 2 hộp và bỏ chúng vào 1 hộp khác. Chứng minh rằng sau một số bước có thể bỏ tất cả các viên bi vào cùng 1 hộp.