Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Đồng Tháp 2021


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lỗ đen vũ trụ

Đã gửi 12-09-2021 - 21:33

Bài 1:  Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}x+y+z=-1\\ x^3+y^3+z^3=11\end{matrix}\right.$

 

       a)   Biểu diễn $zx$ theo y

 

       b)  Chứng minh rằng trong 3 số $x,y,z$ có ít nhất 1 số thuộc đoạn $[-2,-1]$

 

Bài 2:   Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương, trong đó $a,b$ nguyên tố cùng nhau và $\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ là số nguyên.

 

Chứng minh rằng $a$ là số chính phương

 

Bài 3:   Cho dãy số $(a_n)_n$ được xác định như sau $\left\{\begin{matrix}a_0=1 \, \, , \, \,a_1=13\\ a_{n+2}=14a_{n+1}-a_n \, \, , \forall n\in \mathbb{N}\end{matrix}\right.$

 

       a)   Chứng minh rằng $2a_n-1$ là số chính phương với mọi số tự nhiên $n$

 

       b)   Chứng minh rằng $a_n$ luôn được viết dưới dạng tổng bình phương của 2 số tự nhiên với mọi số tự nhiên $n$

 

Bài 4:   Tìm tất cả hàm số lẻ $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

 

$$f(f(x)+y)=2x+f(x-f(y)) \, \, , \, \, \forall x,y\in \mathbb{R}$$

 

Bài 5:   Cho hai đường tròn $(O_1, R_1)$ và $(O_2,R_2)$ cắt nhau tại $A, B$ sao cho tam giác $AO_1O_2$ vuông tại $A$. Tia $O_1O_2$ cắt đường tròn $(O_2)$ tại $E,F$ và cắt đường tròn $(O_1)$ tại $D$. Điểm $M$ thay đổi trên đường tròn $(O_1)$ và không thuộc đường thẳng $O_1O_2$. Kẻ đường kính $MP$ của $(O_1)$. Tia $O_2M$ cắt đường tròn $(O_1)$ tại điểm thứ 2 là $N$. Tia $O_2P$ cắt đường tròn $(O_1)$ tại điểm thứ 2 là $Q$. Chứng minh rằng :

 

        a)   $MD$ là phân giác của góc $\widehat{EMF}$

 

        b)   $MP, \,NQ, \,AB$ đồng quy hoặc đôi một song song

 

        c)   $NQ$ luôn đi qua 1 điểm cố định

 

Bài 6:   Có 2021 viên bi, đựng trong 100 cái hộp. Mỗi lần, cho phép lấy 2 viên bi, 2 viên bi đó thuộc vào tối đa 2 hộp và bỏ chúng vào 1 hộp khác. Chứng minh rằng sau một số bước có thể bỏ tất cả các viên bi vào cùng 1 hộp.



#2 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Thích phương trình hàm và ghéc những thằng đòi học sớm 5p

Đã gửi 12-09-2021 - 22:05

Bài 4:   Tìm tất cả hàm số lẻ $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

 

$$f(f(x)+y)=2x+f(x-f(y)) \, \, , \, \, \forall x,y\in \mathbb{R}$$

 

Vì $f$ là hàm lẻ nên dễ dàng có $f(0)=0$

Thay $x=0$ ta được $f(y)=f(-f(y))$ (1)

Thay $y$ bởi $-f(x)$ ta được $f(x-f(x))=-2x+f(0)$ suy ra $f$ toàn ánh 

Do đó tồn tại $t\in\Bbb R$ sao cho $f(t)=0$

Thay $y=t$ ta được $f(f(x)+t)=2x+f(x)$ suy ra $f$ đơn ánh.

Do đó (1) suy ra $f(y)=-y, \forall y\in\mathbb R$

Vậy $f(x)=-x, \forall y\in\mathbb R$

Thử lại thấy thỏa mãn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 12-09-2021 - 22:14


#3 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Thích phương trình hàm và ghéc những thằng đòi học sớm 5p

Đã gửi 12-09-2021 - 22:08

Bài hình của ku Đạt  :D

204851442_246276133932426_19805583623272



#4 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 12-09-2021 - 22:51

Bài tổ "hiền" nhỉ :D

Nhận xét đầu tiên là nếu ban đầu có nhiều hơn 3 hộp có bi, ta luôn có thể dồn các bi về 2 hộp nào đó, đánh số là $1$ và $2$. Chỉ cần chọn hộp $1$ (hoặc $2$, tùy hộp nào còn bi) và một hộp $i$ nào đó ($i > 2$), rồi bỏ vào hộp $2$ (hoặc $1$, nếu ban đầu chọn $2$).

Khi đã về cấu hình chỉ còn hai hộp $1,2$ có bi thì để ý rằng $2021$ là số lẻ nên sẽ có một hộp có số chẵn bi. Không mất tính tổng quát, giả sử là hộp $2$. Bây giờ mỗi lần 2 viên bi từ hộp $2$ và bỏ hết vào hộp $1$. Sau hữu hạn bước, hộp $2$ sẽ không còn bi, và hộp $1$ sẽ có tất cả các bi theo yêu cầu :)


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#5 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:$\boxed{518}$

Đã gửi 13-09-2021 - 11:47

Bài 3:   Cho dãy số $(a_n)_n$ được xác định như sau $\left\{\begin{matrix}a_0=1 \, \, , \, \,a_1=13\\ a_{n+2}=14a_{n+1}-a_n \, \, , \forall n\in \mathbb{N}\end{matrix}\right.$

 

       a)   Chứng minh rằng $2a_n-1$ là số chính phương với mọi số tự nhiên $n$

a) Ta có $\frac{a_{n+2}+a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{a_{n}}\Rightarrow a_{n+2}a_n-a_{n+1}^2=a_{n+1}a_{n-1}-a_{n}^2=...=a_2a_0-a_1^2=12$.

Từ đó $(2a_{n+2}-1)(2a_n-1)=4a_{n+2}a_n-2a_{n+2}-2a_n+1=4a_{n+1}^2+48-28a_{n+1}+1=(2a_{n+1}-7)^2$.

Với $n=1;n=2$ ta có $2a_n-1$ là số chính phương nên quy nạp ta sẽ có $2a_n-1$ là số chính phương với mọi số tự nhiên n. (đpcm)

b) Đặt $2a_n-1=(2k+1)^2$ thì $a_n=2k^2+2k+1=k^2+(k+1)^2$ là tổng bình phương hai số nguyên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 13-09-2021 - 18:59


#6 Syndycate

Syndycate

    Binh nhì

  • Điều hành viên THCS
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-09-2021 - 23:55

Về bài dãy, có 1 phương pháp riêng cho bài này 

Cho dãy số sai phân tuyến tính cấp 2 có công thức truy hồi là :

$u_{n+1}=au_n+bu_{n-1}$ với $n\geq 1$

Khi đó: $1)u_{n+2}u_{n}-un^2=(-b)^{n-1}(u_1.u_3-u_{2}^2)$

Đặt $c=u_3.u_1-u_{2}^2$

$2)y_n=(a^2+4b)u_{n}^2+4(-b)^nc$ là số chính  phương

$3)x_n=u_n^2 \rightarrow x_{n+1}=(a^2+2b)x_n-b^2x_{n-1}+2(-b)^nc$

Bài dãy có thể sử dụng tính chất 3) và lập dãy con để tạo 1 dãy trùng với dãy $2a_{n}-1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 14-09-2021 - 00:08


#7 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1556 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Ngoại Thương tp Hồ Chí Minh
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 19-09-2021 - 20:42

Bài 2:   Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương, trong đó $a,b$ nguyên tố cùng nhau và $\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ là số nguyên.

 

Chứng minh rằng $a$ là số chính phương

 

 

 

Hi vọng là giải đúng : :icon6:

 

Ta giả sử $ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} = x$  với $ x \in \mathbb{N}^{*}$

 

$ \Leftrightarrow ba + c^2 = xca \Leftrightarrow a(xc-b) = c^2  $ $ (*)$

 

Do đó dễ thấy : $a; \ xc-b $ đều là những số nguyên dương, có tích là bình phương của $1$ số nguyên dương $ (**)$

 

Để chứng minh khẳng định bài toán, thực chất chỉ cần chứng minh $2$ số $ a; \ xc-b$ nguyên số cùng nhau. Khi đó, thì $a; \ xc-b$ sẽ đều là bình phương của $1$ số nguyên dương. Điều này suy ra trực tiếp từ định lý cơ bản của số học về phân tích $1$ số nguyên dương ra thành tích của các thừa số nguyên số. (Phân tích thành lũy thừa nguyên tố)

 

Nhắc lại nội dung định lý:

 

Mọi số nguyên dương đều biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng tích của các số nguyên tố, trong đó các thừa số nguyên tố được viết theo thứ tự không giảm.

 

Trở lại việc giải bài toán:

 

Thật vậy, giả sử $p$ là ước số nguyên tố tùy ý của $a$ thì $ p|a$

 

Từ $(*)$ ta có $ a| c^2$ nên suy ra $ p|c$ 

 

$ \Rightarrow  p|xc  \Rightarrow   p \not | xc-b$ do $a;b$ nguyên tố cùng nhau.

 

Suy ra $xc-b$ không chia hết cho mọi ước nguyên tố của $a$

 

Do đó $ xc-b; a$ phải là 2 số nguyên tố cùng nhau.

 

Suy ra: $xc-b; a$ đều là bình phương của $1$ số nguyên dương 

 

Bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 19-09-2021 - 21:06

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh