Chủ đề này có 4 trả lời

[phuc_90]

Bài toán:  Cho dãy số thực $(x_n)_n$ được định nghĩa như sau

 

$$x_0=\frac{1}{2} \, \, , \, \, x_{n+1}=x_n+\frac{x^{2}_{n}}{2017} \,\, , \,\, \forall n\in \mathbb{N}$$

 

Tìm số tự nhiên $k$ nhỏ nhất sao cho $x_k>1$

 

Note:  Đây là bài toán cũ không có lời giải của diễn đàn, thấy thú vị nên post lại cho các bạn giải thử. Mình thì tìm được $k=4034$, bạn nào tìm được giá trị nhỏ hơn thì cho lời giải nhé.

[perfectstrong]

let f = (x, b) => x + x*x / b;
function findLB(a, b, c) {
    let x = a;
    let n = 0;
    while (x <= c) {
        n++;
        x = f(x, b);
    }
    return n;
}

Vọc code một tí thì có thể thấy $n=2019$ và nói chung là với mọi $n$ thì $k=n+2$ sẽ là GTNN để $x_k > 1$.

[phuc_90]

let f = (x, b) => x + x*x / b;
function findLB(a, b, c) {
    let x = a;
    let n = 0;
    while (x <= c) {
        n++;
        x = f(x, b);
    }
    return n;
}

Vọc code một tí thì có thể thấy $n=2019$ và nói chung là với mọi $n$ thì $k=n+2$ sẽ là GTNN để $x_k > 1$.

 

Vậy khi viết lời giải bài toán này ra giấy thì ghi như thế nào ? 

[perfectstrong]

Vậy khi viết lời giải bài toán này ra giấy thì ghi như thế nào ? 

Cái này mình chưa giải ra Chỉ là nghịch trên máy tính thôi. Mình có một hướng là tìm một dãy phụ $\varepsilon_n$ sao cho $x_{n+1} > x_n + \varepsilon_n \forall n$ và có thể tính tổng $\sum \varepsilon_n$ bằng phương pháp sai phân

[nhungvienkimcuong]

Bài toán:  Cho dãy số thực $(x_n)_n$ được định nghĩa như sau

 

$$x_0=\frac{1}{2} \, \, , \, \, x_{n+1}=x_n+\frac{x^{2}_{n}}{2017} \,\, , \,\, \forall n\in \mathbb{N}$$

 

Tìm số tự nhiên $k$ nhỏ nhất sao cho $x_k>1$

 

Note:  Đây là bài toán cũ không có lời giải của diễn đàn, thấy thú vị nên post lại cho các bạn giải thử. Mình thì tìm được $k=4034$, bạn nào tìm được giá trị nhỏ hơn thì cho lời giải nhé.

Dựa vào giả thiết thấy rằng hướng đi là cần tìm một sai phần phù hợp. Ta có

$$\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{2017}{x_n(x_n+2017)} = \frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_n+2017}.$$

Từ đây dẫn đến

$$2-\frac{1}{x_n}=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{x_i+2017}.$$

$\bullet$ Chứng minh $x_k<1$ với mọi $k\le 2017$.

Dễ thấy $x_i>0$ với mọi $i<k$, do vậy

\[2-\frac{1}{x_k}=\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{x_i+2017}<\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{2017}=\frac{k}{2017}\le 1.\]

$\bullet$ Chứng minh $x_{2018}>1$.

Vì $x_i<1$ với mọi $i<2018$ nên

\[2-\frac{1}{x_{2018}}=\sum_{i=0}^{2017}\frac{1}{x_i+2017}>\sum_{i=0}^{2017}\frac{1}{2018}= 1.\]

Vậy $k=2018$ là giá trị cần tìm (Đáp số được kiểm định bởi python).

n = 0
xn = 1/2

while xn < 1:
    xn = xn + xn ** 2 / 2017
    n += 1

print(n)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 29-10-2023 - 21:00