Chủ đề này có 1 trả lời

[Serine]

Cho tam giác $ABC$ có $AB < AC$, nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm $BC, OA$. Xét $D$ là một điểm thuộc đoạn thẳng $MC$ và không trùng với hai đầu mút. $E, F$ lần lượt là hình chiếu của $B, C$ lên $AD$. Gọi $G$ là giao điểm của đường thẳng qua $E$, song song $AB$ và đường thẳng qua $F$, song song $AC$. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $GEF$. Chứng minh rằng $NI=NM$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 13-09-2021 - 19:36

[Hoang72]

Gọi P là trung điểm của EF. 

Qua G kẻ đường thẳng song song với BC cắt lại $(I)$ tại J, cắt EF tại L.

Dễ thấy $\angle LEF=\angle LGF=\angle ACB$. Tương tự $\angle LFE=\angle ABC$.

Ta cũng có $\Delta JEL\sim\Delta ACD$, $\Delta JFL\sim\Delta ABD$ nên $\frac{LE}{LF}=\frac{DC}{DB}=\frac{DF}{DE}$ nên $LE=DF$.

Từ đó $\frac{DP}{PF}=\frac{LP}{PF}=\frac{MD}{MC}$. Suy ra $MP||CF$ nên $MP\perp EF$ nên $M,P,I$ thẳng hàng.

Dễ dàng nhận thấy $\angle ILF=\angle ODB$ nên $\angle IDL=\angle ODM$. Suy ra $\angle MOD=\angle MID$ nên M, O, I, D cùng thuộc $(OD)$. Gọi Q là trung điểm của OD thì $QM=QI$, mà $NQ||AD\Rightarrow NQ\perp MI$. Từ đó QN là trung trực của MI nên $NM=NI$.

 

Hình gửi kèm

•