Đến nội dung


Hình ảnh

$\sqrt{a^2+8}+\sqrt{b^2+8}+\sqrt{c^2+8}\leq a+b+c+6$

bất đẳng thức và cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 TARGET

TARGET

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 14-09-2021 - 01:13

a,b,c \geq  0 ; ab+bc+ca+abc=4; CMR: $\sqrt{a^2+8}+\sqrt{b^2+8}+\sqrt{c^2+8}\leq a+b+c+6$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TARGET: 14-09-2021 - 01:42
Tiêu đề + LaTeX


#2 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1302 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 14-09-2021 - 06:12

Ta có: $ab+bc+ca+abc=4\Leftrightarrow abc+2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)+8=ab+bc+ca+4(a+b+c)+12\Leftrightarrow (a+2)(b+2)(c+2)=(a+2)(b+2)+(b+2)(c+2)+(c+2)(a+2)\Leftrightarrow \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1$

Từ đó suy ra: $a+b+c+6=(\frac{12}{a+2}+a-2)+(\frac{12}{b+2}+b-2)+(\frac{12}{c+2}+c-2)=\frac{a^2+8}{a+2}+\frac{b^2+8}{b+2}+\frac{c^2+8}{c+2}\geqslant \frac{(\sqrt{a^2+8}+\sqrt{b^2+8}+\sqrt{c^2+8})^2}{a+b+c+6}$

$\Rightarrow (a+b+c+6)^2\geqslant (\sqrt{a^2+8}+\sqrt{b^2+8}+\sqrt{c^2+8})^2\Rightarrow \sqrt{a^2+8}+\sqrt{b^2+8}+\sqrt{c^2+8}\leqslant a+b+c+6(q.e.d)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh