Đến nội dung


Hình ảnh

$f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 14-09-2021 - 21:12

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb R \to \mathbb R, f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)\quad \forall x, y \in \mathbb{R}$



#2 Syndycate

Syndycate

    Binh nhì

  • Điều hành viên THCS
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-09-2021 - 21:21

Đề Chọn đội tuyển Đồng Tháp 2021 ( do @pco2 giải) 



#3 Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 15-09-2021 - 07:41

Đề Chọn đội tuyển Đồng Tháp 2021 ( do @pco2 giải) 

IMOSL 2002 á anh hehe, quăng em cái link xíu.



#4 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Thích phương trình hàm và ghéc những thằng đòi học sớm 5p

Đã gửi 15-09-2021 - 21:44

IMOSL 2002 á anh hehe, quăng em cái link xíu.

 

Ặc giải trên đề Đồng Tháp rồi mà :< 



#5 Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 15-09-2021 - 23:44

Ặc giải trên đề Đồng Tháp rồi mà :< 

 

Đề Chọn đội tuyển Đồng Tháp 2021 ( do @pco2 giải) 

Một cái $f(f(x)+y)=2x+$$f(f(y)-x)$

Một cái $f(f(x)+y)=2x+$$f(x-f(y))$ màa



#6 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Thích phương trình hàm và ghéc những thằng đòi học sớm 5p

Đã gửi 16-09-2021 - 11:24

Vẫn bài trên, nhưng đổi để hàm thỏa dễ nhìn hơn và bỏ hàm lẻ để không cho người làm được lụm $f(0)=0$ ngay từ đầu 

Trích và sửa từ bài Đồng Tháp

Thay $x=0$ ta được $f(y)=f(f(y))$ (1)

Thay $y$ bởi $-f(x)$ ta được $f(x-f(-f(x)))=-2x+f(0)$ suy ra $f$ toàn ánh 

Do đó tồn tại $t\in\Bbb R$ sao cho $f(t)=0$

Thay $x=t$ ta được $f(f(y)-t)=f(y)-2t$ suy ra $f$ đơn ánh.

Do đó (1) suy ra $f(y)=y, \forall y\in\mathbb R$

Vậy $f(x)=x, \forall y\in\mathbb R$

Thử lại thấy thỏa mãn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 16-09-2021 - 11:25


#7 Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 16-09-2021 - 11:41

Vẫn bài trên, nhưng đổi để hàm thỏa dễ nhìn hơn và bỏ hàm lẻ để không cho người làm được lụm $f(0)=0$ ngay từ đầu 

Trích và sửa từ bài Đồng Tháp

Thay $x=0$ ta được $f(y)=f(f(y))$ (1)

Thay $y$ bởi $-f(x)$ ta được $f(x-f(-f(x)))=-2x+f(0)$ suy ra $f$ toàn ánh 

Do đó tồn tại $t\in\Bbb R$ sao cho $f(t)=0$

Thay $x=t$ ta được $f(f(y)-t)=f(y)-2t$ suy ra $f$ đơn ánh.

Do đó (1) suy ra $f(y)=y, \forall y\in\mathbb R$

Vậy $f(x)=x, \forall y\in\mathbb R$

Thử lại thấy thỏa mãn.

$f(0)$ chưa bằng 0 mà a



#8 Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 16-09-2021 - 12:00

Em thấy đến khúc đơn ánh hợp lý rồi á, sau đó thể tiếp như sau (chưa có $f(0)=0$):

 

$x=0: f(f(0)+y)=f(f(y))$

$\implies f(y)=y+f(0)=y+a$

Thay vào đề thỏa, vậy $f(x)=x+a \quad \forall x \in \mathbb{R}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 16-09-2021 - 12:01


#9 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Thích phương trình hàm và ghéc những thằng đòi học sớm 5p

Đã gửi 16-09-2021 - 14:10

Em thấy đến khúc đơn ánh hợp lý rồi á, sau đó thể tiếp như sau (chưa có $f(0)=0$):

 

$x=0: f(f(0)+y)=f(f(y))$

$\implies f(y)=y+f(0)=y+a$

Thay vào đề thỏa, vậy $f(x)=x+a \quad \forall x \in \mathbb{R}$

 

Đúng rồi, tại sáng làm vội nên chưa nhìn kĩ hì  :icon6:






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh