Đến nội dung

Hình ảnh

$f'(x_0)=0$ và $f''(x_0)=0$ hàm số có thể có cực trị tại $x_0$ hay không?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
BT42

BT42

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Mấy bác cho em hỏi: Một hàm số $f(x)$ có đạo hàm cấp 2. Tại $x=x_0$ thì $f'(x_0)=f''(x_0)=0$ thì mình có suy ra được hàm số không có cực trị tại $x_0$ không ạ? Nếu có thì vì sao vậy ạ? Em cảm ơn mấy bác.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 15-09-2021 - 22:11
Tiêu đề + LaTeX


#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Mấy bác cho em hỏi: Một hàm số $f(x)$ có đạo hàm cấp 2. Tại $x=x_0$ thì $f'(x_0)=f''(x_0)=0$ thì mình có suy ra được hàm số không có cực trị tại $x_0$ không ạ? Nếu có thì vì sao vậy ạ? Em cảm ơn mấy bác.

Giả sử $f(x)$ có đạo hàm liên tục đến cấp $n$ ở lân cận điểm $x_0$ và giả sử $f'(x_0)=f''(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0$ ; $f^{(n)}(x_0)\neq 0$. Khi đó :

+ Nếu $n$ chẵn thì $f(x)$ đạt cực trị tại $x_0$ (cực tiểu nếu $f^{(n)}(x_0)> 0$, cực đại nếu $f^{(n)}(x_0)< 0$)

+ Nếu $n$ lẻ thì $f(x)$ không đạt cực trị tại $x_0$.

 

Như vậy nếu $f'(x_0)=f''(x_0)=0$ thì phải xét tiếp $f'''(x_0)$, nếu nó vẫn bằng $0$ thì xét tiếp $f^{(4)}(x_0)$... Xét đến khi nào tìm được $n$ thỏa mãn $f^{(n)}(x_0)\neq 0$ thì áp dụng định lý trên.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Xét hàm $f(x) = x^3$ là có ngay câu trả lời. Hàm này cũng cho thấy là câu trả lời của chanhquocnghiem chưa đầy đủ nhé (bởi vì nó không thoả mãn phần "giả sử").


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Xét hàm $f(x) = x^3$ là có ngay câu trả lời. Hàm này cũng cho thấy là câu trả lời của chanhquocnghiem chưa đầy đủ nhé (bởi vì nó không thoả mãn phần "giả sử").

Xét hàm $f(x)=x^3$ tại điểm $x_0=0$.

$f'(x)=3x^2$ ; $f''(x)=6x$ ; $f'''(x)=6$

$\Rightarrow f(x)$ có đạo hàm liên tục đến cấp ba tại $x_0$ ; $f'(x_0)=f''(x_0)=0$ và $f'''(x_0)=6\neq 0$

(như vậy là đã thỏa mãn phần giả sử rồi còn gì nữa)

$n=3$ (lẻ) $\Rightarrow f(x)$ không đạt cực trị tại $x_0=0$.

 

-------------------------------------------------

Lưu ý : Có đạo hàm liên tục đến cấp $n$ không có nghĩa là không có đạo hàm cấp $n+1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 04-10-2021 - 07:28

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Xét hàm $f(x)=x^3$ tại điểm $x_0=0$.

$f'(x)=3x^2$ ; $f''(x)=6x$ ; $f'''(x)=6$

$\Rightarrow f(x)$ có đạo hàm liên tục đến cấp ba tại $x_0$ ; $f'(x_0)=f''(x_0)=0$ và $f'''(x_0)=6\neq 0$

(như vậy là đã thỏa mãn phần giả sử rồi còn gì nữa)

$n=3$ (lẻ) $\Rightarrow f(x)$ không đạt cực trị tại $x_0=0$.

 

-------------------------------------------------

Lưu ý : Có đạo hàm liên tục đến cấp $n$ không có nghĩa là không có đạo hàm cấp $n+1$.

Ồ đúng vậy, hôm qua không hiểu đọc kiểu gì, thực sự xin lỗi chanhquocnghiem  :namtay Kết quả của chanhquocnghiem hoàn toàn chính xác, có thể chứng minh khá dễ dàng dùng khai triển Taylor. 


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#6
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Ồ đúng vậy, hôm qua không hiểu đọc kiểu gì, thực sự xin lỗi chanhquocnghiem  :namtay Kết quả của chanhquocnghiem hoàn toàn chính xác, có thể chứng minh khá dễ dàng dùng khai triển Taylor. 

Em không nghĩ là chương trình SGK bình thường lẫn nâng cao có dạy khai triển Taylor :D


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#7
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Đúng rồi em, nhưng bản thân kết quả mà chanhquocnghiem đã nêu ở trên thì đã là trên lớp 12 rồi :D Thấy vậy nên anh mới bổ sung thêm ví dụ, vừa đủ để trả lời câu hỏi đầu tiên mà không cần dùng kiến thức nào thêm.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh