Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

- - - - - phương trình hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
thh2

thh2

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x)f(y)=f(xy)$, $f(x+y)=f(x)+f(y)\forall x,y \in \mathbb{R}$



#2
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x)f(y)=f(xy)$  (1) , $f(x+y)=f(x)+f(y)$ (2) $,\forall x,y \in \mathbb{R}$

 

$x=y=0$ vào (2) ta được $f(0)=0$

Thay $y$ bởi $-x$ ta được $f(-x)=-f(x)$ suy ra $f$ hàm lẻ

Thay $y$ bởi $x$ vào (1) được $f(x^2)=f(x)^2\geq 0, \forall x\geq 0$

Từ (2) suy ra với mọi $x,y \geq 0$ thì $f(x+y)=f(x)+f(y)\geq f(x)$ 

Do đó $f$ là dãy tăng suy ra $f$ tuyến tính trên $\mathbb R^+$ (theo điều kiện yếu) 

Mà $f$ là hàm lẻ nên $f$ tuyến tính trên $\mathbb R$ 

Suy ra $f(x)=cx, \forall x\in\mathbb R$, $c$ là hằng số bất kì.

Thay lại vào hàm nhân tính ta được $c=0$ hoặc $c=1$

Vậy $f(x)=0\forall x\in\mathbb R$ và $f(x)=x\forall x\in\mathbb R$

Thử lại thấy thỏa mãn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 17-09-2021 - 17:04






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình hàm

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh