Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f(x)f(y)=f(xy)$, $f(x+y)=f(x)+f(y)\forall x,y \in \mathbb{R}$
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f(x)f(y)=f(xy)$ (1) , $f(x+y)=f(x)+f(y)$ (2) $,\forall x,y \in \mathbb{R}$
$x=y=0$ vào (2) ta được $f(0)=0$
Thay $y$ bởi $-x$ ta được $f(-x)=-f(x)$ suy ra $f$ hàm lẻ
Thay $y$ bởi $x$ vào (1) được $f(x^2)=f(x)^2\geq 0, \forall x\geq 0$
Từ (2) suy ra với mọi $x,y \geq 0$ thì $f(x+y)=f(x)+f(y)\geq f(x)$
Do đó $f$ là dãy tăng suy ra $f$ tuyến tính trên $\mathbb R^+$ (theo điều kiện yếu)
Mà $f$ là hàm lẻ nên $f$ tuyến tính trên $\mathbb R$
Suy ra $f(x)=cx, \forall x\in\mathbb R$, $c$ là hằng số bất kì.
Thay lại vào hàm nhân tính ta được $c=0$ hoặc $c=1$
Vậy $f(x)=0\forall x\in\mathbb R$ và $f(x)=x\forall x\in\mathbb R$
Thử lại thấy thỏa mãn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 17-09-2021 - 17:04
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x-f(y)) = f(f(y)) +x.f(y) + f(y) -1$Bắt đầu bởi noname0101, 21-02-2024 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2x+3y)=2f(x)+3g(y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(3x+2y)=f(x)+2f(x+y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2xy+x)=f(xy+x)+f(x)f(y)$Bắt đầu bởi do viet anh, 07-06-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^2+yf(x))=xf(f(x))+f(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}.$Bắt đầu bởi WilliamFan, 26-05-2023 phương trình hàm, đại số |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh